この記事では「相対度数とは？度数分布表から求め方や意味をわかりやすく！パーセント表示する？」ということを解説します。

相対度数はなんとなくわかるようで、わかりにくい。。

ということで、この記事を見れば以下のことがわかるようになりますよ。

• 度数、相対度数の用語の意味
• 累積相対度数の意味
• ヒストグラムの書き方
• 相対度数から、度数の求め方

2018年11月に実施された統計検定2級でも、相対度数の問題が出ていました。

では、早速いってみましょう!

相対度数とは?意味と求め方

「相対度数」を理解するのに、まずは「相対」と「度数」がそれぞれ何の意味を持つかを理解する必要があります。

なので、まずは相対度数の意味を考えてみましょう。

相対度数の意味とは？

相対度数とは、それぞれ、このような意味です。

• 相対：他との関係の上に存在あるいは成立していること。
• 度数：数のこと。

つまり相対度数とは、他との関係の上に成り立っている数ということです。

さらに言うと、答えとしては合計に対する数を示したものです。

…ここまで見ても、なんのこっちゃって感じですよね。

なので、例を見ながら確認してみましょう。

中央値を求めたときの記事のデータを再利用します。

このデータですね。

データの数は6個です。

この時、上記のデータを「階級」という別のデータにしてみます。

例えば、「50以上60未満、60以上70未満、70以上80未満、80以上90未満、90以上」という5つの階級を作って、その階級の中に当てはまるデータの数を示す、というやり方です。

すると、以下のような表が出来上がります。

では、ここからが本番。

相対度数を復習すると、「他との関係の上に成り立っている数」ということでした。

で、他との関係、というのか何を意味しているのかというと、合計との関係、ということです。

つまり、相対度数とは、合計に対する数を示したもの、ということができます。

相対度数の求め方

相対度数の求め方を数式にすると、以下の通り。

なので、先程の表に相対度数を加えると、以下のようになります。

これを「相対度数分布表」とよびます

相対度数を示した表、という意味です。

ここで重要なことが1つ。

相対度数を全て足し合わせると100%になる

ということ。

これは絶対に覚えておいてください。

四捨五入の関係で100%にならないこともありますが、理論上は全て足し合わせると100%になります。

相対度数分布表から累積相対度数を求める

相対度数を求めることができたので、今度は累積相対度数を求めます。

相対度数は各階級の度数を合計の度数で割ったものでした。

では累積度数は何なのかというと、それ以上(以上)の階級の度数を、合計の度数で割ったものです。

これも、先程の表を使いましょう。

このような感じです。

例えば「70以上80未満」までの累積相対度数は、「50以上60未満、60以上70未満、70以上80未満の３つの階級の合計の度数を、全部の合計の度数で割ったもの」になります。

そのため、4/6ですね。

相対度数分布表からヒストグラムを作成する

で、ここまできたらヒストグラムを作成することができます。

ヒストグラムを一言でいうと、相対度数を可視化したものです。

つまり、横軸を階級、縦軸を相対度数にして作成されるグラフです。

先ほどのデータからヒストグラムを作成すると、このようになります。

今回はデータ数が少ないのでかしかしてもあまり意味がないかもしれませんが、データが多ければ多いほど、ヒストグラムを作成してデータをグラフで可視化することは、重要になります。

相対度数から、度数を求める方法

たまに統計検定の問題で出てくるため、相対度数から度数を求める方法を整理しておきましょう。

例えば、このような問題。

わかりますか？

情報を整理しましょう。

まず、相対度数の定義をおさらいします。

相対度数は以下の式で計算できました。

問題から、50以上60未満の点数の相対度数は30% (0.3)です。

そして、20人の英語の点数なので、合計の度数は20です。

と言うことは、以下の式が成り立ちます。

つまり、50以上60未満の度数は0.3*20=6となります。

ということで、答えは6人です。

相対度数はパーセント表示がいいの？

ここで、ちょっとだけ細かいことを。

それは、相対度数はパーセント表示がいいのか？ということ。

先ほどの相対度数分布表を再掲します。

この記事でも、相対度数や累積度数をパーセント表示をしています。

ですが実際は、小数表示でも、どちらでもいいです！

小数表示かパーセント表示かは、100を掛けるかどうかだけですので、本質ではありませんね。

実際に医薬系の論文でも、小数表示もパーセント表示も、どちらも目にします。

相対度数とは？まとめ

こちらの記事では、以下のことを学びました。

• 度数、相対度数の用語の意味　→度数は数。相対度数は合計に対する数を示したもの。
• 累積相対度数の意味　→それ以上（以下）の階級の度数の合計を、合計の度数で割ったもの。
• ヒストグラムの書き方　→相対度数を可視化したもの。
• 相対度数から、度数を求める方法　→相対度数の定義から逆算する。

ぜひ、日々の勉強にお役立てください！

動画でも解説していますので、併せてご確認くださいませ！

この記事では条件付き確率について学んでいきます。

条件付き確率は、統計検定2級でも頻出するのでぜひ理解しましょう。

この記事を見れば、これらのことがわかります。

• 条件付き確率とは？その公式は？
• ベン図で見る、条件付き確率
• 条件付き確率を、サイコロのわかりやすい例で理解
• ベイズの定理との関係

では早速学んでいきましょう！

ちなみに、2018年11月に実施された統計検定2級の問題でも、条件付き確率が出てきています。

条件付き確率とは？公式や記号の読み方を確認する

そもそも、どんな問題が与えられたときに「条件付き確率を求めればいいんだな！」となるでしょうか。

条件付き確率を考える前に、普通の確率計算について考えてみましょう。

通常の確率計算ではこのような問題文が与えられたときに求めれば良いですよね。

これが間違いなく、普通に確率を求める問題です。

では条件付き確率を求めなければいけない問題はどのような問題でしょうか。

これが、条件付き確率を計算しなければならないときの問題です。

つまり「〜が起こったときに」とか「〜が起こった条件のもとで」という言葉があったら、条件付き確率を計算すればいいんだな、ということです。

条件付き確率の定義（公式）

それが分かったところで、条件付き確率の定義（公式）です。

全部理解する必要はないので、こんな数式なんだー、ぐらいに思ってもらえれば今のところは大丈夫です。

ここで、P(A)やP(B)というのは、「Aが起こる確率」や「Bが起こる確率」のことです。

P(A|B)というのが、「Bが起こった条件のときのAの確率」のことです。

この条件付き確率の数式の書き方は暗記するしかありません。

条件付き確率の読み方

ちなみに、このP（A|B）の読み方に関しても、疑問に思われれる方が多いです。

読み方に正解はないのですが、日本語だったら「Bが起こったときにAが起こる条件付き確率」と読めばいいかと思います。

英語では、「Probability of A given B」ですかね。

英語の方がシンプルですね。

直訳すると「Bが与えられた時のAの確率」。

まさに、条件付き確率です。

そして分子にあるこの数式。

これは「AかつBが起こる確率」のことです。

つまり、AとBが同時に起こる確率、ということです。

これらを踏まえて。

条件付き確率を日本語で書くと以下のとおりになります。

これが、条件付き確率の定義です。

条件付き確率はベン図で見るとわかりやすい

定義だけだとよくわからない気がするので、図を使ってイメージで覚えましょう。

確率を図式化するのに有効なのが、ベン図です

この図を見ると分かりやすいですね。

つまり条件付き確率というのは、緑色の面積（Bの確率）のうち斜線で引いた部分の面積（AとBが同時に起こる確率）がどれくらいあるかということを、求めるものです。

では、以下のようなベン図だったらどうなるでしょうか？

重なっている部分がないですよね。

この時は、AかつBが０になります。

よって、条件付き確率も０になります。

条件付き確率をサイコロの例で学ぶ

それでは、例題を解きながら条件付き確率を深く理解しましょう。

数式で書くとP(3以下|奇数)ですね。

では、どういう式で求めることができるでしょうか。

条件付き確率の定義は以下の通りでした。

ということは、今回の問題ではこのように数式を書くことができますよね。

P(奇数)=1/2であり、P(3以下かつ奇数)=2/6=1/3です。

よって、P(3以下|奇数)=2/3となります。

ベン図で書くと、以下の通り。

今回の問題の全事象Uは、「サイコロを１回振る」ってことですよね。

そして、Aが３以下の目が出る。

Bが奇数の目が出る。

で、AでもBでもないのが4と6です。

ベン図で書くと、かなりわかりやすいですね。

条件付き確率とベイズの定理の関係

条件付き確率は、ベイズの定理とかなり密接な関係があります。

ここから先は少し発展した内容になりますので、条件付き確率は完璧！でありベイズの定理も知っておきたい！という方のみご覧くださいね。

まず、ベイズの定理はこのような式です。

この式が何を意味しているのかというと、このような感じです。

これが、ベイズの定理がやっていること。

ちなみに、なぜこのような式になるか。

なので、これで得られた式を条件付き確率に代入すると、ベイズの定理が導かれる。

ベイズの定理がどんなところで使われているのか？については、また別の記事で。

条件付き確率に関するまとめ

• 条件付き確率とは「〜が起こった時に、〜が起こる確率」のこと。
• ベン図を使ってイメージで覚えると、覚えやすい。
• ベイズの定理との関係があるため、ベイズの定理を理解する第一歩は条件付き確率を理解すること。

統計検定2級では必ずといっていいほど出てくる、変化率。

変化率とは？と聞かれた時に、スラスラ答えられますか？？

この記事では、変化率に関する以下のことをお伝えします。

• 変化率の求め方、計算方法
• 変化率が日常で使われている場面
• 変化率の解釈方法
• 変化率をエクセルで求める方法

2018年11月の統計検定2級でも、変化率の問題が出ていました。

そのため、変化率の理解は統計検定2級合格のためにも重要ですので、ぜひ理解しましょう！

変化率とは？その求め方や計算方法

変化率の定義を学ぶ前に。

「変化」って言葉、日常でどんなときに使いますか？

例えば。

• 10年前からの体型の変化
• 生まれた頃より地元が変化している
• この調味料を入れて味変（味を変化）させよう

とか、いろんな場面で使いますよね。

そしてよくよく考えてみると、「変化」という言葉を使っているために、ひとつの共通点があります。

それは「異なる時点を比較している」ということ。

例えば「10年前からの体型の変化」であれば、「10年前」と「今」を比べているということですよね。

同じく、「生まれた頃より地元が変化している」であれば、「生まれた頃」と「今」を比べています。

「この調味料を入れて味変させよう」であれば、「今」と「これから」を比較しているわけです。

変化率の計算には異なる時点間の2つ以上のデータが必要

これと同じように、「異なる時点のデータ」がなければ「変化率」を計算することができません。

例えば、2019年の売り上げと2020年売り上げ、今月の体重と来月の体重、臨床試験に入ったときと臨床試験が終わったとき、などなど。

そして、変化率は以下の計算式で定義されます。

具体的な例で変化率を考えてみる

変化率を具体的な例で考えてみます。

例えば「2020年の売り上げ関して2019年からの変化率が知りたい」という場合には以下のような数式になります。

具体的に数値にしてみましょう。

• 2020年の売り上げが1500万円
• 2019年の売り上げが1000万円

この時、変化率は以下のようになります。

変化率は50%と求めることができました。

変化率はどんな時に使われる？

実は、変化率は結構身近に使われています。。

例えば決算の時。

最近このような数値を見かけました。

このような数字が並んだ時の、「前年比8.5%増」や「同25.7%増」とは「前の年から8.5%（もしくは25.7%）増加の変化率（増加率）があった」ということを表しています。

これらも、「異なる時点のデータ」を扱っているという点で共通ですよね。

変化率から、前年の売り上げを計算する方法

ちょっとだけ横道にそれて、変化率から前年のウリアゲを計算してみましょう。

先程の数値。

「売上収益5797億8700万円・前年比8.5%増」を使ってみます。

このとき、前年の売上収益はいくらになりますか？

変化率の定義から逆算すればいいですよね。

これを式展開していきます。

求めることができました。

前年の売上収益は5343億6600万円です。

変化率とは、基準量に対してどれぐらい増減したかという指標

具体的な数値を見ながら変化率を学びました。

そして重要なのが、変化率はどのような指標であるかという解釈です。

結論から言うと、変化率とが基準量に対してどれぐらい増減したか、という指標です。

先ほどの例に挙げた「売上収益5797億8700万円・前年比8.5%増」とは、前年の売上収益を基準量としたら、今年の売上収益は8.5%増加したよ、ということです。

図にすると、以下の通り。

前年の売上収益が基準量です。

その基準量の8.5%が今年の売上収益でプラスされました。

ということを言っているのです。

改善率なども同じ意味

例えば「改善率」なんかも、変化率の一種です。

変化率はプラス方向かマイナス方向か、ということは特に意識せずに「起点からどんな変化をしたか」ということ。

一方で改善率は、良い方向だけに目を向けたい、という意図があるだけで、計算式は変化率と全く同じでOKです。

変化率をエクセルで求める方法！

ここでは、変化率をエクセルで求める方法をお伝えします。

しつこいようですが、変化率を計算するということは、「異なる時点のデータ」があるということです。

先ほどの数値に対して、エクセルで変化率を算出してみましょう。

• 2020年の売り上げが1500万円
• 2019年の売り上げが1000万円

残念ながら、変化率に関するエクセル関数はありません。

そのため、ちゃんと計算式で入力する必要がありますね。

上記のようにA2に2019年の売り上げ、B2に2020の売り上げデータがあった時、変化率はC2のセルのようになります。

この計算式から、ちゃんと50％という結果を導くことができました。

変化率に関するまとめ

• 変化率とは基準量に対してどれぐらい増減したか、という指標である。
• 計算式は以下の通り。

また、変化率に関しては動画でも解説していますので、記事と合わせて確認いただけると理解が進むはずです。

2018年11月に実施された統計検定2級の過去問解説です。

問題は、統計検定のHPにありますので、そちらからダウンロードしてください。

2018年6月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

2017年11月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

統計検定2級2018年11月の過去問：問１（１）

この問題で重要なことはただ一つ。

ということ。

これさえわかればOKです。

（ア）：100-(85.1+2.1) = 12.8%

（イ）：100-(76.6+17.0+2.1) = 4.3%

統計検定2級2018年11月の過去問：問１（２）

箱ひげ図の問題ですが、実は最大値に着目すれば解ける問題。

各年代の最大値は以下の通りですよね。

1952年の最大値：60校以上80校未満

1985年の最大値：100校以上120校未満

2017年の最大値：120校以上140校未満

ということで、箱ひげ図の縦軸のスケールに着目しましょう。

縦軸の一番大きい数字が70であるAが1952年

縦軸の一番大きい数字が100であるBが1985年

縦軸の一番大きい数字が140であるCが2017年

となります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問１（３）

四分位範囲とは、全データを小さい（大きい）順に並べて、下（上）から25%の点と75%の点の間のことをいいます。

箱ひげ図では、箱の部分が四分位範囲。

そのため、A,B,Cの順で四分位範囲が大きくなっていることが分かります。

そのため、Iは×。

1952年の最大値は60校以上80校未満、1985年の最大値は100校以上120校未満ですから、1952年の最大値は1985年の最大値の半分以下、というのは間違いです。

そのため、IIは×

箱ひげ図において、中央値は箱の中の横線です。

そのため、A,B,Cの順に中央値が大きくなっています。

そのため、IIIは〇。

統計検定2級2018年11月の過去問：問2

この問題で重要な知識は、相関係数は直線関係の指標である、ということ。

つまり、二次曲線の関係があったとしても、相関係数の絶対値は小さくなります。

“男性・正社員”では、50-54歳を頂点とした、放物線（二次曲線）の形をしています。前述の通り、相関係数は「直線関係」を表している指標です。そのため、このグラフは相関係数のみで判断してはいけません。

そのため、Iは〇。

“女性・正社員”についても、“男性・正社員”と同様に50-54歳を頂点とした放物線になっています。ですが、20-24歳から50-54歳までを見ると、比較的直線関係が見えています。ということであれば、69歳までの全体の相関係数よりも絶対値は大きくなるはず。

そのため、IIは×。

相関係数は、ｘが大きくなるとｙがどれだけ上がるか、ということを反映した指標ではありません。繰り返しになりますが、直線関係がどれほどあるか、という指標です。

そのため、IIIは×。

ちなみに、ｘが大きくなるとｙがどれだけ上がるか、ということを調べたい場合には、回帰分析を行います。

統計検定2級2018年11月の過去問：問3（１）

変化率は、以下の式で求めることができます。

前月からの変化率＝（求めたい月のデータ　-　前月のデータ）/前月のデータ×100

そのため、（ア）をxとすると、4.98=(111.7-x)/ｘ*100を求めればOKです。

ということで、106.4になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問３（２）

３項移動平均とは、軸となるデータ（今回の問題では2017年10月）と、その前後のデータの平均値です。

そのため、2017年9月、10月、11月の3つのデータの平均値になります。

つまり、（110.3+107.9+109.5）/3が正解です。

統計検定2級2018年11月の過去問：問4

ラスパイレス指数の計算式を知っていれば解ける問題です。

つまり、今回の問題だとこのような式になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問5

抽出に関する基本問題です。

I：◯

これは正しいです。

II：×

層の標本サイズが同じなら、層別しない抽出方法と同程度の分散を期待することができます。

ですが、標本サイズが違う場合には、平均値の分散は大きくなります。

III：◯

これは正しいです。

統計検定2級2018年11月の過去問：問6

このような、抽出を何段階かに分けて実施することを多段抽出と呼びます。

この問題では、２段階（市区町村と世帯）の抽出をしているため、２段抽出と呼びます。

統計検定2級2018年11月の過去問：問7（１）

抽出した箱が工場Aからのものである確率は、0.7である。

更に、この箱にカモノハシの絵がプリントされているのは0.02である。

ということは、抽出した箱がAであり、更にカモノハシの絵がプリントされている確率は、0.7×0.02=0.014である。

同様に、抽出した箱がBであり、更にカモノハシの絵がプリントされている確率は、0.3×0.08=0.024である。

よって、抽出した箱にカモノハシの絵がプリントされている確率は0.014+0.024=0.038となる。

統計検定2級2018年11月の過去問：問7（２）

条件付確率の定義は以下の通りです。

そのため、求める確率は次の通り。

統計検定2級2018年11月の過去問：問8（１）

ちょっとだけ難しい問題です。

ですが、まずは与えられた問題の通りに計算していきます。

で、ここからが頭を使うのですが、Uは平均0、分散1の正規分布に従います。

つまり、正規分布表を確認して、95%よりも大きくなるUの点を探します。

すると、Uが-1.64以上となる確率は95%と確認できます。

そのため、以下の等式を解けばよいということが分かります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問8（２）

問題文より、以下の通り。

95%点はUが1.64の時なので、以下の式となります。

つまり、一次方程式であることがわかりました。

直線関係のグラフは1なので、答えは１です。

統計検定2級2018年11月の過去問：問９（１）

計算が面倒なので、ミスに注意です。

まず、2以下の目が出る確率は1/3であり、それ以外の目が出る確率は2/3です。

7回サイコロを振ってx+1回だけ2以下の目が出る確率は、以下の通りです。

同様にして、x回だけ2以下の目が出る確率は、以下の通りです。

これを式展開すると、以下の通りになります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問9（２）

（１）で求めた式に0～7を代入してみます。

すると、ｘ＝２の時に最大になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問10

標本平均の期待値と、標準誤差の知識があれば一発で回答できます。

標本平均の期待値は、確率変数の期待値と一緒であるため、（ア）はμ。

標準誤差（標本平均の標準偏差）はσ/sprt(n)となるため、分散はその2乗。

つまり、σ2/nとなる。

統計検定2級2018年11月の過去問：問11（１）

歪度と尖度の問題です。

どちらも、正規分布の場合には０になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問11（２）

結構な難問でした。

確率変数Xが一様分布U(a,b)に従う時、平均値と分散は以下の定義です。

よって、一様分布U(-1,1)では、平均値が0,分散が1/3となります。

よって、問題文の歪度の定義から以下のように求めることができます。

また、尖度も同様に計算すると、-1.2となります。（計算式は割愛します）

統計検定2級2018年11月の過去問：問11（３）

I：×

逆です。

右に裾が長い分布では、歪度は正の値になり、左に裾が長い分布では、歪度は負の値になります。

II：×

こちらも逆です。

正規分布よりも尖っている分布では尖度は正の値に、正規分布よりも中心部が平坦な分布では尖度は負の値になります。

III：×

自由度が大きくなるにつれて、t分布は正規分布に近づきます。すなわち、尖度は0に近づくので、絶対値は小さくなります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問12

比率の信頼区間。

統計検定２級では、かなりの頻度で出題されます。

割合をpとして、信頼区間は以下の式で計算できます。（暗記しておいていいレベルです）

今回のデータを当てはめると、以下のようになります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問13

t統計量の基礎問題です。

サンプルサイズをn、母平均をμ、標本平均をx、不偏分散をs2とすると、t統計量は次の式から求められます。

よって、t統計量は値を代入して以下のようになります。

両側5%ということは、片側2.5%であるため、T分布表から自由度20-1=19の棄却域は2.093です。

そのため、棄却域＞T統計量なので棄却されません。

統計検定2級2018年11月の過去問：問14（１）

「分散が等しいかどうか」の検定は、F検定です。

覚えていただきたいのは２点。

「F統計量の式」と「自由度」です。

F統計量は以下の式で算出できます。

また、このときの自由度は以下の通りです。

そのため、自由度は29, 30となります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問14（２）

検定の多重性の問題です。

３つの検定をして「１つでも有意であればよい」ときの確率を求めます。

１つでも有意であれば良い、ということを直接計算するとややこしいので、逆転の発想をします。

それは、1-（１つも有意にならない確率）を求めるということです。

１つの検定のαエラーを5%とした時、有意にならない確率は1-0.05です。

つまり、以下の式を解けば良いです。

統計検定2級2018年11月の過去問：問15（１）

「不良品、不良品でない」という２値のデータですので、二項分布が当てはまります。

二項分布は統計検定２級では必ず出題されますので、必ず理解しておきましょう。

二項分布の平均値はnpで求めることができ、分散はnp(1-p)で求めることができます。

つまり、平均値はnp=200*0.05=10であり、分散はnp(1-p)=10*0.95=9.5となります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問15（２）

標本平均をp、母比率をp0、サンプル数をnとすると、以下の式から求めることができるz統計量は、標準正規分布に従います。

200個のうち、16個が不良品なので、標本平均は16/200となります。

そのため、z統計量は以下の通りです。

標準正規分布表を見ると、1.95より大きくなる確率は0.026であることがわかる。

統計検定2級2018年11月の過去問：問15（3）

２つの群の標本比率をそれぞれp1,p2とし、サンプルサイズをn1,n2とすると、次の式から求められるz統計量は、標準正規分布に従う。

ただし、pはプールした標本比率のこと。

問題文より、A社の標本比率は16/200=0.08であり、B社の標本比率は17/200=0.085です。そのため、プールした標本比率は、以下の通り。

よって、zは以下の通り。

標準正規分布より、-0.18より小さくなる確率は0.43であるため、両側検定ではその2倍である、0.86がP値になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問16（１）

適合度検定において、 カイ2乗統計量は以下の通り。

よって、これを満たしているのは１のみ。

統計検定2級2018年11月の過去問：問16（２）

カイ二乗検定の自由度は、カテゴリの数-1であるため、５です。

自由度5のカイ二乗分布における上側5%点は11.07となります。

１つ前の問題で１がカイ二乗統計量でしたので、2.59<11.07より、棄却されない、という結果になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問17（１）

回帰分析の読み取り方です。

国の数（データの数）を読み取るには、自由度を読み取る必要があります。

自由度はdegree of freedomもしくは、DFと表記されます。

２通りの読み取り方があります。

１つ目は、Residual standard errorのdegree of freedomに着目する方法。

Residual standard errorとは、残差の標準誤差のことです。

この時の52 degree of freedomは、（データの数-説明変数の数-1）から算出されますので、52=X-2-1が成り立ちます。

そのため、X＝55となります。

２つ目は、F-statisticのDFに着目する方法です。

「2 and 52 DF」は、「説明変数の数 and 残差 DF」を示しています。

そのため同様に、52=X-2-1の関係式が成り立ちますので、X＝55となります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問17（２）

I：×

αの推定値はInterceptの行です。

説明変数のないパラメータは日本語では「切片」と呼び、統計ソフトではInterceptと表示されますので、覚えましょう。

そのため、αの標準誤差は113.7です。

II：◯

ここで重要なのがeの読み取り方です。

統計ソフトの出力でe+は10倍を示していますので、例えばe+02であれば、10倍の10倍、つまり100倍するということです。

一方で、e-は1/10するということを示していますので、例えばe-02であれば1/100するということです。

それを念頭におくと、全てのパラメータで0.05を下回ることがわかりますので、有意水準5%で0ではないという結果になります。

III：×

自由度調整済み決定係数は、Adjusted R-squaredを見ます。

すると、0.8141ですので、間違いです。

自由度を調整しない決定係数は、Multiple R-squaredになります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問17（３）

I：◯

人口密度（Population）の点推定値（Estimate）を見ると、マイナスの値になっています。

そのため、人口密度が高い国では、自動車普及率は低い傾向がある。

II：◯

１人当たりGDPの点推定値（Estimate）を見ると、プラスの値になっています。

そのため、１人当たりGDPが高い国では、自動車普及率は高い傾向がある。

III：◯

得られた推定値を回帰式に代入すると、450となる。

統計検定2級2018年11月の過去問：問18（１）

I：◯

残差の標準誤差²=残差平方和/(サンプル数-説明変数の数-1)という関係を知っているかどうか、という問題でした。

この方程式を解くと、0.608²×(5-1-1)=1.1となります。

II：×

単位を変えても、t値は変わりません。

III：◯

単位を変えると、推定値は変わります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問18（２）

I：×

上記の問題と同様に、推定値は単位を変えれば変わります。

そのため、説明変数が不要かどうかは、推定値が0に近いかどうは関係ありません。

一般的には、P値を確認して判断します。

II：×

説明変数間の相関が高い場合には、多重共線性の問題が発生します。

標本サイズは関係ありません。

III：×

得られたP値（0.559）>有意水準（0.05）であるため、棄却されません。

統計検定2級2018年11月の過去問：問18（３）

I：×

説明変数の数が異なれば、得られる推定値は異なります。

II：◯

これはその通りです。

III：×

有意ではないため、xが1万円大きい時yが6.462万円小さくなる、ということはできません。

統計を勉強していると、必ず出てくる箱ひげ図。

統計検定２級でも、必ずといっていいほど問題が出題されます。

箱ひげ図はデータを可視化するのに、かなり有用なグラフです。

ヒストグラムと同じぐらい、個人的にはかなり有益だと思っている箱ひげ図。

でも、箱ひげ図を使ったことがなければ、

・箱ひげ図とは？

・箱ひげ図ってどんなときに使えるの？

・箱ひげ図の見方は？

といったことが疑問になりますよね。

ということで、この記事では箱ひげ図の読み取り方や、どんなデータに使えるのか、そして最後にはエクセルでの箱ひげ図の作成方法までお伝えします。

箱ひげ図とは？連続量を可視化するのに有益なグラフ

まず、箱ひげ図は連続量を可視化するのに有益なグラフです。

このような図を見たことありますか？

これが箱ひげ図というものです。

このグラフは、かなり使えます。

私も実データを解析する際には、必ずと言っていいほど使いますね。

で、連続量の可視化の方法として、もう一つ有名なグラフがありますよね。

あなたは答えられますか？

そう、ヒストグラムです。

ヒストグラムと箱ひげ図の2種類さえ覚えておけばいい、というぐらい、この2つは大切です。

箱ひげ図とヒストグラムの使い分けは？

箱ひげ図とヒストグラム。

どちらも連続量を可視化するのに有益なグラフ。

じゃあここで１つ疑問が浮かびます。

「箱ひげ図とヒストグラムってどう使い分けるの？」

ということです。

結論からいうと、私の使い分け方はこうですね。

• ヒストグラム：データが正規分布に従ってそうか？をざっくりと確認したいとき。
• 箱ひげ図：データのバラツキ度合いを知りたいとき

ヒストグラムを確認するときは、そのデータが正規分布に従っているかどうかを確認する時に使います。

正規分布なのか、それとも右に裾を引いているのか。

そんなことをざっくりと把握したいときに使っています。

データが正規分布っぽいかどうかを確認することって、実はかなり重要です。

というのも、平均値が信頼のおける値なかどうかにもかかわってくるので。

一方、箱ひげ図を確認するときは、データのバラツキ度合いを知りたいときに使います。

後で詳しく説明しますが、箱ひげ図を構成しているのは「中央値」「最大・最小値」「四分位範囲」「外れ値」です。

そのため、データがどれだけの範囲にありそうなのかな？というのを把握するのに最適なグラフなのです。

もちろん、ヒストグラムと箱ひげ図の両方を確認することは有用です。

ですが、他の人に見せると「どっちのグラフを見たらいいの？」としばしば聞かれますので、ちゃんと使い分けに関して整理しておきましょう。

箱ひげ図の見方：パーセント点や外れ値を確認できる

箱ひげ図を説明する前に、まずは「パーセント点（パーセンタイル）」について解説します。

パーセント点を知らないと、箱ひげ図を理解できませんから。

パーセント点とは以下のような点です。

つまり、０パーセント点＝最小値を表しますし、１００パーセント点＝最大値となります。

例えば、30パーセント点といわれた時には、以下のような図になります。

箱ひげ図に出てくる四分位数を理解する

箱ひげ図には、四分位数の情報が含まれています。

四分位数とは、「データを４分割する数」と言い換えることができます。

つまり、「最小値〜データの25%点」「データの25%点〜データの50%点」「データの50%点〜データの75%点」「データの75%点~最大値」と、データを４つに分けるときの25%点、50%点、75%点のことです。

四分位数は、データを小さい順に並べて、小さいものから以下の通りに名前が付けられています。

そして、第一四分位数と第三四分位数の範囲を、四分位範囲（Inter Quarter Range, IQR）と呼んでいます。

箱ひげ図では外れ値も確認できる

箱ひげ図では、ひげの端は必ずしも最大値、最小値を示しているわけではありません。

以下のように、ひげよりも遠いところに点が示されることがあります。

これが外れ値です。

統計ソフトによりますが、例えばエクセルの箱ひげ図のひげは、「四分位範囲の1.5倍までしか伸ばさない」と定義しています。

そのため、この範囲を超えたデータは外れ値とみなされます。

今までの知識を箱ひげ図に当てはめる

最小値、最大値、四分位範囲が理解できたところで、これらを箱ひげ図に当てはめてみます。

箱ひげ図に当てはめると、以下の通りになります。

箱ひげ図の箱の部分が四分位範囲、ひげの部分が「最小値〜データの25%点」「データの75%点~最大値」を示していることになりますね。

そして読み取るのに重要な部分。

箱ひげ図が「最小値〜データの25%点」「データの75%点~最大値」「四分位範囲」を示しているのであれば、以下のA、B、C、Dの4区間のなかには、それぞれ同じ数だけデータが入っているということ。

しかし、同じデータの数でも、その区間の長さが違いますよね。

だから、データのばらつき具合を知ることができるということです。

例えば、区間Aと区間Bでは、区間Bの区間が短いことからよりデータが集中していることが分かります。

箱ひげ図をエクセルで作成する方法

箱ひげ図がどんなグラフか、そしてどんな時に有益なグラフなのかが分かったところで、実際にエクセルで作成してみます。

データは、ヒストグラムを作成した際に使用した、仮想の男子大学生50人分のデータを使用します。

箱ひげ図はエクセルで簡単に作成できる

簡単に箱ひげ図は作成できます。

箱ひげ図にしたいデータを選んで、「挿入」タブの「グラフ」から「箱ひげ図」を選ぶだけ。

これだけで箱ひげ図が作成できました。

箱ひげ図で実は、平均値も確認できる

箱ひげ図は「中央値」「最大・最小値」「四分位範囲」「外れ値」を確認できるグラフでした。

で、実際にエクセルで箱ひげ図を作成しても、上記4つの指標が確認できました。

それに加えてエクセルの箱ひげ図では、新たに１つの指標が確認できます。

• 平均値

箱の中にある×の印が、平均値を示しています。

箱ひげ図とは？まとめ

• 箱ひげ図は連続量を可視化するのに有益なグラフ。
• ヒストグラムと箱ひげ図は「正規分布かどうかを確認したい」のか「データのバラツキ度合いを知りたい」のか、によって使い分ける。
• 箱ひげ図は「中央値」「最大・最小値」「四分位範囲」「外れ値」を確認できるグラフ

また、箱ひげ図に関しては動画でも解説しておりますので、合わせてご確認いただけると理解が進むはずです。

＞＞SPSSで箱ひげ図を作成する方法

＞＞JMPで箱ひげ図を作成する方法

この記事では、2018年6月に実施された統計検定2級の過去問を解説しています。

問題自体はすでにダウンロードできないため、無料のメルマガ登録でプレゼントしております。

2018年11月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

2017年11月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！：問１（１）

３つの箱ひげ図から適切なものを選ぶ問題。

箱ひげ図に関しては、以下の図を参照ください。

また、偏差の定義は「個々のデータ-平均値」です。

標準化とは、「偏差/標準偏差」で示されます。（標準化後のデータをZで示すことが多いです。）

標準化することによるメリットは、標準化することで平均値0、標準偏差1の正規分布データになることです。

そのため、-2〜2の間に、95%のデータが入ることになります。（正規分布の性質です。）

I：標準化得点のグラフ

縦軸が-2〜2のグラフです。すなわち、標準化得点のグラフということです。

II：偏差のグラフ

縦軸が0を中心に、約-25～30の間に散らばっています。

すなわち、偏差のグラフを示しています。

III：総得点のグラフ

縦軸が20～80の間に散らばっています。

すなわち、総得点のグラフです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問１（２）

この問題では、標準化の性質を使います。

標準化することで、平均0、標準偏差１の正規分布のデータになります。

つまり、「標準偏差の２倍より離れた値があるかどうか」は、「標準化データのグラフで、-2より小さいデータまたは2より大きいデータ、があるかどうか」と言い換えることができます。

Iが標準化データのグラフですので、そこから読み取ると、１つだけ２より大きい外れ値があります。

そのため、１つ、という答えになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問２（１）

I：◯

横軸（人口）が大きくなればなるほど、縦軸（常設映画関数）が大きくなる傾向があります。

また、その傾向は直線に近いため、正の相関があると言えます。

II：◯

相関係数は外れ値の影響を受けやすいため、散布図を一緒に見る必要があります。

III：×

正の相関は見ることができました。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問２（２）

I：×

北海道は人口が500万人の付近にあります。

500万人の付近のデータだけを見ると、北海道は一番上にありますので、一般病院病床数は多いです。

II：◯

変動係数は標準偏差を平均で割ったものです。

人口1人当たりの一般病院病床数の変動係数は、一般病院病床数の変動係数よりも小さくなることが予想されます。

例えば、以下のようなデータがあったとします。（数値は適当です）

このとき、変動係数（CV）は以下のようになります。

1人あたりの病院数のほうが、CVが小さくなることがわかります。

III：×

人口が多い都府県に限っても、正の相関が見られます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問２（３）

I：◯

偏相関係数とは、第３の因子の影響を除いた相関係数のことです。

今回の場合、常設映画関数と一般病院病床数に関して、人口の影響を取り除いた相関係数を指しています。

II：◯

残差e1と残差e2の散布図を見ると、相関があるようには見えません。

つまり、人口の影響を除くと相関が見られなくなることから、常設映画関数と一般病院病床数の相関は、擬相関であったことがわかります。

III：×

病院と併設している映画館のデータはどこにもないため、ここからは読み取れません。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問３（１）

ローレンツ曲線とは、横軸に世帯（人口）の累積度数を、縦軸に所得の累積度数を示した曲線である。

ローレンツ曲線の特徴は、所得格差が存在しないなら45度線と一致し、所得に偏りがあると、曲線は下に膨らむ、ということ。

与えられた表は各階級の度数であるため、この表から累積度数分布表を作成する。

すると、以下のような表ができる。

この累積度数分布表と、曲線を見比べると、ドイツが当てはまっていることがわかる。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問３（２）

ジニ係数とは、「45度線とローレンツ曲線の面積の２倍」で計算できる。

すなわち、以下の図の枠で囲んだ部分の面積の２倍である。

赤い枠の面積を直接求めることができないため、以下のように0.5 – ( ① + ② + ③ + ④ + ⑤ )を計算する。

三角形と台形の面積の計算を５つ実施し、ジニ係数を求めると、0.28になる。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問３（３）

I：◯

どの国も45度線より下に曲線が描かれます。

II：×

ジニ係数が大きいと、格差が大きいことを表しています。

問題文は、説明が逆です。

III：◯

スウェーデンと中国を比べると、中国のローレンツ曲線が下に描かれます。

よって、中国の方が、格差が大きいということです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問4（１）

2011年の輸出物価指数の、前年からの変化率は以下の式で算出できます。

よって、以下のようになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問４（２）

問題文を解釈できたかどうかが鍵となる。

問題文を図示すると、以下の条件を満たすrを計算するということ。

ではまず、X1を計算します。

次に、X２を計算します。

と計算することができます。

ということは、あとは2015年までの変化率を計算していけば良いということです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問５

フィッシャーの３原則とは、「繰り返し」「局所管理」「無作為化」のことです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問６

抽出の問題は毎回必ずでてくるので、理解したいです。

今回の問題では、男女という「性別」というカテゴリごとに無作為抽出をしたい場合です。

この時カテゴリのことを「層」とよびます。

「層」は一般的にも使われていて、例えば「年齢層」という使い方をしますよね。

そのため、層化（層別）抽出といいます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問７（１）

まず、お菓子をもらえる条件は「２回連続で勝つ」ということ。

つまり、お菓子がもらうためには、以下のうちいずれかの場合。

1. 1回目と2回目に勝つ：確率はpq（独立なので、そのまま掛けて良い）
2. 1回目負けて、２回目と３回目に勝つ：確率は(1-p)pq

そのため、お菓子がもらえるのは上記の２つを足したもの。

pq+(1-p)pqが正解。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問7（２）

T-U-Tでお菓子をもらえる確率は、（１）で計算できました。

では、U-T-Uでお菓子をもらえる確率を計算してみます。

• と同様に計算すると、qp+(1-q)qpとなります。

では、「pq+(1-p)pq」と「qp+(1-q)qp」ではどちらが大きいでしょうか。

２つの違いは、1-pと1-qのみです。

問題文よりp<qですので、1-p>1-qとなります。

つまり、T-U-Tの順番の方がお菓子をもらいやすいということがわかります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問8（１）

まず必ず知っておきたいのが、正規分布の性質。

正規分布は「平均値（μ）」と「標準偏差（SD）」の２つで形が決まります。

そして、μ±SDの間には、約68%のデータが含まれています。

μ±2SDの間には、約95%のデータが含まれています。

そして、もう一つ知っておきたいのが、標準化。

問１でもさらっと出てきましたが、ここでもおさらいしましょう。

標準化をすることで、平均0、標準偏差1の正規分布（標準正規分布）のデータにすることができます。

以上の２点を知ったところで、問題です。

4,800円を標準化のデータに直します。

すると（4800-4000）/500=1.6となります。

つまり、標準正規分布で1.6以上となる確率はどれぐらいか？と問われているのと一緒です。

標準正規分布表は問題の最後の方についておりますので、1.6以上がどのぐらいの確率かを確認します。

0.548なので、0.55が正解です。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問8（２）

この問題も、与えられた数字をZに直して、標準正規分布表と見比べる、ということをします。

つまり、最終的には以下の式に代入します。

ここで問題なのが、「今年6月と昨年6月の差の標準偏差」はどう求めるのか、ということ。

これは、分散の定義から計算します。

このように求めることができるので、最終的には以下の式になります。

ということで、また標準正規分布と見比べて、答えは0.129となります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問8（３）

難しそうに見えて、簡単な問題です。

3年分の電気料金は独立なので、その大小関係が出る確率はそれぞれ等しいです。

つまり、３年分のデータの並び順は3!=3*2*1で6通り。

そのうち、今年が一番大きい組み合わせは「前々年＜前年＜今年」と「前年＜前々年＜今年」の2通り。

つまり、2/6=1/3が正解。

問９（１）統計検定2級2018年6月の過去問解説！

平均、分散、共分散、相関の４つの定義をおさらいしましょう。

こちらの４つの定義は、暗記したほうが良いです。

これを知っていれば、あとは当てはめるだけです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問９（２）

少々複雑に思いますが、こちらの問題も上記の定義がわかっていれば解ける問題です。

計算間違いさえしなければ解くことができます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問10（１）

95%信頼区間の知識と、ちょっとした応用力が必要な問題でした。

まず、95%信頼区間は以下の式です。

95%信頼区間の定義がわかっていれば、あとは与えられた問題文を上記の式に近づけます。

かなり、95%信頼区間の式に近づきました。

そして、上記の式と95%信頼区間の式と見比べます。

よって、あとは計算していきます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問10（２）

n=20が与えられたとき、T分布に従います。

つまり、95%信頼区間は以下のような式になります。

T分布表より、自由度19のt_0.025は2.093です。

あとは、与えられた数字を代入します。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問11（１）

比率の信頼区間。

統計検定２級では、かなりの頻度で出題されます。

割合をpとして、信頼区間は以下の式で計算できます。（暗記しておいていいレベルです）

今回のデータを当てはめると、以下のようになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問11（２）

母比率の推定値は以下の式で計算することができます。

そして、標準誤差の算出には、問９で出てきた分散の定義を使います。

つまり、以下のようになります。

ここまでできたらあとは、標準誤差（Standard Error, SE）とは何か？がわかっていれば解くことができます。

データの標準誤差とは、推定値の標準偏差のことです。

ここはぜひ理解しておきましょう。

つまり、上記の分散をルートすれば、そのまま標準誤差になります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問12（１）

T検定の基礎知識を問う問題です。

2群のT検定の際のT統計量は以下の式で計算できます。

これは暗記していいレベルです。

そして、プールした分散とは、以下の通りです。

これがわかれば、あとは計算ミスしないようにするだけ。

計算式は割愛しますが、セリーグの不偏分散は以下の通り。

パリーグの不偏分散は以下の通り。

よって、t統計量は以下の通りになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問12（２）

分散分析のF値を問う問題です。

分散分析表を思い浮かべられるかどうかが鍵です。

分散分析表は以下の通りです。

つまり、F値を算出するには群の分散と、残差の分散が必要です。

そのために、まずはそれぞれの平方和を算出します。

ここまでくれば、あとは分散分析表の通りに当てはめるだけです。

自由度に関しては、こちらの記事をご確認ください。

[blogcard url=”https://best-biostatistics.com/contingency/degree-freedom.html”]

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問13（１）

まず、問題文を可視化してみます。

H０（帰無仮説）とH１（対立仮説）の数字が与えられていますので、それをそのままグラフにします。

（１）ではX≦3としていますので、以下の通りの棄却域になります。

そして、第１種の過誤、第２種の過誤、検出力の用語を整理します。

• 第１種の過誤：棄却域での帰無仮説下（H０）の累積確率
• 第２種の過誤：棄却域ではない部分での対立仮説（H１）の累積確率
• 検出力：1-第２種の過誤

よって、第１種の過誤は0.1+0.1+0.1=0.3となります。

第２種の過誤は0.05+0.05=0.1となります。

検出力は1-0.1=0.9となります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問13（２）

X≦２が棄却域の場合と、X＝６が棄却域の場合、第１種の過誤、第２種の過誤、検出力はそれぞれ以下の通り。

有意水準とは、第１種の過誤とほぼ同じ意味です。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問14（１）

回帰分析の読み取り方です。

問題文で与えられた回帰式に、出力結果を当てはめると以下の式になります。

ここに、問題文の数字を当てはめます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問14（２）

回帰分析の結果から、t統計量を求める式は以下の通り。

よって、値を代入するとこのようになる。

計算結果のt統計量を、t分布表と見比べる。

自由度は回帰分析結果のResidual Standard Errorを見る。

43degree of freedomとあるため、自由度40のt分布表を確認する。

すると、得られたt=1.915は両側10％と両側5%の間のt値に相当する。

そのため、両側10%であれば棄却される。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問14（３）

I：◯

Interceptとlog（賃金）の２つが有意水準1%で0ではない。

II：×

Log（賃金）の推定値は正の値であり、有意水準1%で0ではない。

そのため、賃金が上がると犯罪発生率は上がる傾向にある。

III：◯

自由度調整済み決定係数は、回帰分析結果のAdjusted R-squaredの値である。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問15（１）

分割表の基本的な知識を問う問題。

与えられた表から期待度数の表を作成すると、以下のようになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問15（２）

カイ二乗値は、以下の式で求めることができる。

よって、数字を代入すると以下の通り。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問15（３）

分割表の自由度は、(行の数-1)*(列の数-1)で計算できる。

よって、2*2分割表の場合の自由度は1である。

カイ二乗分布表より、自由度１のときに0.05となるカイ二乗値は3.84

また、（２）より計算されたカイ二乗値は69.04である。

69.04>3.84であるため、風向と季節には関連があると言える。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問16

F値の求め方は、以下の通り。

また、自由度（20, 40）の両側5%のF統計量は下記の通り2.068となる。

1.81<2.068であるため、棄却されない。

今回の記事では、2017年11月に実施された統計検定2級の過去問を解説します。

問題を無断で貼り付けることができないため、実際の問題については、問題集をご購入ください。

2018年11月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

2018年6月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１（１）

この問題で重要なことはただ一つ。

相対度数をすべて足すと、100%（割合の場合は１）になる

ということ。

これさえわかればOKです。

100-(0.93+5.25+35.80+38.27+5.25+0.62) = 13.88%

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１（２）

1: ×

滞在日数が1週間未満であるということは、（A）と（B）の階級を足した割合のことである。最も高いのは韓国である。

2: ×

もっとも割合が高い階級は（C）である。

3: ×

（C）の階級で50%以上の割合がいる。

4: ×

（A）と（B）を加えると、90%を超える。

5: ◯

累積度数（上から足した度数）が50%を超える階級がフランスでは（D）であり、その他の国は（B）か（C）である。そのため、中央値がもっとも大きい国はフランスである。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１（３）

縦軸に注目する。

米国では、（C）の階級が50%を超えているため、１か２のグラフのいずれかであることがわかる。

また、（C）の両隣である（B）と（D）が19%と18%という、ほぼ同じ割合であることから、１が該当する。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問２（１）

相関係数と散布図のグラフの対応を読み取れるかどうかが 鍵になる。

まず、開花日と平均気温は相関係数が-0.789である。

強い負の相関が見られることから、Iが平均気温の散布図であることがわかる。

降水量の合計の相関係数は正であり、日照時間の合計の相関係数が負であることから、IIが降水量の合計、IIIが日照時間の合計であることが読み取れる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問２（２）

t値は、回帰分析の係数を標準誤差で割ったものである。

そのため、標準誤差をsとすると、以下の数式で解くことができる。

よって、s=0.3036となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問２（３）

回帰係数の表と問題文から、以下の数式をイメージできたかどうかが鍵になる。

この数式を解くと、開花日は3.17となり四捨五入して3日である。

3月31日が0であるから、3日は4月3日となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問３（１）

中央値を求めるためには、データを小さい順に並べ替える必要がある。

キャベツのデータを並べ替えると、以下のようになる。

この時の真ん中の値が中央値になる。

データの数が偶数であるため、中央値は真ん中２つのデータの平均値である。

よって、(213+215)/2=214となる。

変動係数は、標準偏差/平均値であるから、56/214.2=0.261となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問３（２）

外れ値に注目する。

箱ひげ図より、キャベツのデータは大きい方に外れ値が２つある。

また、ビールのデータは、大きい方に外れ値が１つある。

そのため、キャベツのヒストグラムはIIIであり、ビールのヒストグラムはIIであることがわかる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問３（３）

この問題で重要なのが、コレログラムの読み取り方。

ある時点のデータAと、そこから時点をずらしたデータB（ラグ）があったとき、AとBの数値を用いて、自己相関係数を算出することができます。

コレログラムとは、横軸にラグを時系列的に示し、縦軸に自己相関係数を示したもの。

コレログラムを使えば、データに周期性（例えば季節変動など）があるかどうかを調べることができます。

I：◯

コレログラムから、キャベツの価格における１年後（１２ヶ月後）との相関は5%棄却限界値より大きく、ビールの価格における１年毎の相関は5%棄却限界値より小さい。

II：◯

コレログラムから、ラグ１の自己相関係数が0.5あり、5%棄却限界値より大きい。

ラグ１の自己相関係数は各月の価格とその翌月の価格の相関係数を表す。

したがって、ある月の価格が平均より高ければ、その翌月の価格も平均より高い傾向があることがわかる。

III：×

コレログラムは、１つの時系列の時間的相関を表すグラフである。

したがって、２つの時系列間の時間的な相関を見ることはできない。

よって、キャベツとビールの価格の時間的相関関係を読み取ることはできない。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問４（１）

ラスパイレス指数の計算式を知っていれば解ける問題です。

つまり、今回の問題だとこのような式になります。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問４（２）

価格指数のグラフを見ると、1970年〜1980年には10%を超えるプラスの変化がある。

そのため、１か３が該当する。

また、1990年以降は、マイナスの変化もあることから、全てプラスの変化率である１は間違いである。

よって、３が該当する。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問５

抽出に関する基本問題です。

I：◯

これは正しいです。

II：×

多段抽出法は、コストは削減できるが偏りが生じやすい抽出法です。

例えば全国の世帯調査の際に、１段目に都道府県を抽出し、２段目に市町村を抽出する、というやり方が多段抽出法の例です。

１つの市町村だけを調査するためコストが削減できますが、その市町村が全国の世帯の代表データになるため、偏りが生じている可能性があります。

III：◯

これは正しいです。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問６

実験研究と観察研究の違いは、実験者が介入するものを決めている場合が実験研究で、 被験者自らが介入を選び実験者はそれを観察するだけという場合が観察研究である。

1: 実験研究

新薬か対照薬かは、実験者がランダムに割り当てている。

2: 実験研究

アサガオの育成条件を、実験者が決めている

3: 観察研究

健康食品を食べるかどうかは、参加者が決めている。

4: 実験研究

どちらの部屋に入るか、実験者が決めている。

5: 実験研究

スピードの条件は、実験者が決めている。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問７

問題を解く上で必要な知識は、条件付き確率である。

問われているのは、おもちゃが不良品だった場合に、工場Aで生産されていた確率であるから、数式にすると以下の通り。

おもちゃが工場Aで作られ不良品である確率は0.6*0.01である。

また、おもちゃが工場Bで作られ不良品である確率は0.4*0.005である。

よって、P(不良品)は0.6*0.01+0.4*0.005である。

P(工場A∩不良品)は0.6*0.01である。

よって、以下の計算式になる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問８（１）

確率の定義の一つに「全て足すと１になる」という性質があります。

確率密度関数f(x)が与えられた時、積分をすると確率密度関数の面積が求まります。

その面積が「全て足すと」に該当するため、今回の問題では以下の数式を満たします。

これを計算していけば良いです。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問８（２）

平均値と分散の定義通りに計算する問題です。

以下の数式は暗記しておきましょう。

与えられたf(x)を使って、まずは平均値を求めます。

次に、分散です。

その前にE[X²]を計算しておきます。

よって、分散は以下の式になります。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問９（１）

問題文の各式は、（ア）カイ二乗分布、（イ）t分布、（ウ）F分布の式である。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問９（２）

YがF分布の定義に従っていることに気づきましょう。

その上で、Yは自由度（20, 10）のF分布に従っています。

しかし、F分布表では「上側パーセント点」しか与えられていませんが、問題文はY≦αより、「下側パーセント点」を求められています。

そのため計算を工夫し、1/Yが自由度（10, 20）のF分布に従うことを利用します。

F分布表より、1/a=2.348となるため、a=1/2.348です。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１０（１）

まず必ず知っておきたいのが、正規分布の性質。

正規分布は「平均値（μ）」と「標準偏差（SD）」の２つで形が決まります。

そして、μ±SDの間には、約68%のデータが含まれています。

μ±2SDの間には、約95%のデータが含まれています。

今回は、60点以上の確率であるため、以下の式を満たします。

(1-0.68)/2=0.16

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１０（２）

60点以上取る確率は0.16であり、60点未満を取る確率は0.84であるため、5人中１人が60点以上取る確率は以下の通り。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１０（３）

Y=(X₁+…+X₅)/5とした時、Yは平均値50、標準偏差10/√5に従う。

ちなみに、SD/√nは標準誤差とも呼ばれる。

よって、標準正規分布に従う確率変数をZとするとき、以下の数式で計算することができる。

標準正規分布表より、0.45となる点は0.173であるから、0.5-0.173=0.327となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１１（１）

パラメータがλのとき、ポアソン分布の平均値はλ、分散もλである。

よって問題文から、分散の推定値は518/365である。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１１（２）

1日に事故が発生しない確率は、P(X=0)を計算すれば良い。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１２（１）

データの数を知るためには、自由度を読み取る必要があります。

自由度はdegree of freedomもしくは、DFと表記されます。

２通りの読み取り方があります。

１つ目は、Residual standard errorのdegree of freedomに着目する方法。

Residual standard errorとは、残差の標準誤差のことです。

この時の199 degree of freedomは、（データの数-説明変数の数-1）から算出されます。

この問題では、説明変数はlog(販売価格)の１つだけです。

そのため、199=X-1-1が成り立ちます。

よって、X＝201となります。

２つ目は、F-statisticのDFに着目する方法です。

「1 and 199 DF」は、「説明変数の数 and 残差 DF」を示しています。

そのため同様に、199=X-1-1の関係式が成り立ちますので、X＝201となります。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１２（２）

回帰係数の検定統計量は、t統計量を用います。

帰無仮説をβ₀とし、得られた回帰係数の推定値をβ₁、その標準誤差をSE

とすると

で求めることができる

よって、t統計量は値を代入して以下のようになります。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１２（３）

出力結果を回帰モデルに当てはめると、以下のようになる。

log(販売数量) = 7.92546 – 4.89615 * log(販売価格)

I：◯

正しいです。

回帰係数の解釈としては、説明変数（今回の問題ではlog(販売価格)）が1大きくなった場合に、応答変数（今回の問題ではlog(販売数量)）がどれだけ変動するか、を示した数値です。

II：◯

正しいです。

logは単調減少、単調増加するため、Iのとおり販売価格が大きくなると販売数量は小さくなります。

III：×

上記の回帰モデルに数値を当てはめます。

すると9.39となるため、誤りです。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１３（１）

母比率の95%信頼区間の問題です。

統計検定２級では頻出の問題なので、解き方はしっかり理解しておきましょう。

「非常に関心がある」かそうではないかは、二項分布に従うと考えられます。

そのため、推定値はpであり、分散はp(1-p)で求めることができます。

問題文より、pは0.483です。

また、母比率の95%信頼区間は「推定値±1.96*標準誤差」で求めることができます。

この時、標準誤差は「（分散/データ数）のルート」で求めることができます。

以上より、95%信頼区間の式は以下の通りになります。

これを求めると、[0.461, 0.505]となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１３（２）

差の95%信頼区間は以下の数式で解くことができる。

よって、この数式に与えられた問題文の数値を代入する。

これを解くと、95%信頼区間は[0.036, 0.098]となる。

95%信頼区間が0を含まないため、有意水準5%で母比率の差は0でないと言える。

よって、有意水準5%で変化したと言える。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１４

I：×

対立仮説が正しい時、帰無仮説を棄却する確率を検出力という。

II：◯

その通り。

III：◯

P値は確率であるため、確率の性質上１を超えることはない。

P値、有意水準、有意差の使い分けに関してはこちらの記事を参照してください。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１５

適合度検定において、 カイ2乗統計量は以下の通り。

いま、問題文で与えられている数値を２つの表にしてみる。

１つは、50人がくじを引いた時、本当に１等が20%、２等が30%であったときに、期待される人数の表。

以下の通りになる。

もう１つが、観測されたデータの表。

以下の通りになる。

この２つの表から、カイ二乗値を計算する。

このとき、データの表の自由度は2である。

付表から、自由度2のカイ二乗分布の上側5%の値は5.99である。

よって、得られた値の方が小さいため、帰無仮説は棄却されない。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１６（１）

全体の平均は以下の式で求めることができる。

よって、与えられた表から数字を代入すると

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１６（２）

難問です。

回帰分析でのF値は以下の数式で求めることができます。

今回のデータでは６カ国あるため、水準間の自由度は6-1=5

残差の自由度は、83-5-1=77となります。

これらを踏まえて、F値を数学記号をつかって表現すると

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１６（３）

I：◯

出力結果より、P値は1%より小さい。

よって、F値は上側1%点のF値より大きい。

II：×

99%信頼区間は以下のように求めることができる。

よって、各地域の99%信頼区間を計算すると以下のようになる。

例えばアジアの99%信頼区間は[118, 302]であり、ヨーロッパの99%信頼区間は[459, 581]であるため、重ならない。

III：×

出力結果から、P値は5%より小さい。