・帰無仮説とはなんのこと・・・？

・対立仮説とは・・・？

・そもそも検定するのになんで仮説が必要なの？

統計の検定といえば、P値が0.05を下回るかどうか。

それだけを考えていませんか？

確かにそれだけ知っていれば、結論の部分は解釈できます。

でも、ちゃんと仮説を知っておくことはすごく大切です。

なぜなら、P値がどういう考えで算出されるかを知ることで、試験のデザインを読み取ることができるためです。

もしあなたが、試験や実験を計画する立場であれば、仮説の理解は必須でしょう。

それほど難しい概念ではないので、是非とも理解しましょう！

帰無仮説と対立仮説を設定する意味：統計学的検定では、差があることを直接証明できない

統計的検定の論理は、少しひねくれています。

どうひねくれているか。

差がないことを否定することによって、差があることを証明する

からです。

つまり、差があることの証拠を見つけるのではなく、差がないことの証拠を見つけることをします。

上記の手続きにより、「差がないことが否定された　→　だから差があるでしょ」ということを言うのです。

ここでいう「差がない」という仮説、そして「差がある」という、2つの仮説があることで、統計学的検定は仮説検定とも呼ばれています。

統計の専門用語では、「差がない」という仮説のことを、帰無仮説と呼びます。

「差がある」という仮説のことを、対立仮説と呼びます。

大枠としてのイメージは、以下のような感じです。

帰無仮説とは無に帰したい仮説のこと

統計的仮説検定でよく見る「帰無仮説」。

文字通り、最終的には「無に帰したい仮説」です。

今回の例では、「犬と人は同じ」や「新薬とプラセボの効果は同じ」が帰無仮説です。

特徴は、本当に示したいことの逆が帰無仮説になる、ということ。

英語ではNull hypothesisと呼ばれます。

対立仮説が証明したい仮説のこと

無に帰したい仮説がある。

じゃあ、本当に証明したい仮説もある、ということですね。

本当に証明したい仮説のことを「対立仮説」と呼んでいます。

英語ではAlternative hypothesisですね。

帰無仮説と対立仮説の例：犬と人は違うって、どうやって証明できる？

ここであなたに問題です。

「犬と人は違う」っていうのはどうやって証明できますか？

（どうやっても何も、見た目が全然違うじゃん・・・）

（何言ってるんだろ・・・）

そんな声が聞こえそうですww

でも、例としてはこれぐらい差がはっきりしているものが良いです。

この例を、統計的な仮説検定に落とし込んでみましょう。

明らかに違いがありそうな犬と人。

でも、証明するって難しいです。

だから、以下のように証明していきます。

手順1：一度、「犬と人は同じ」と仮定する。

一旦、「犬と人は同じ」と仮定するのです。

証明したいのは「犬と人は違う」なのに、一度同じとみなしてみる。

ここがスタートになります。

手順2： 同じと仮定すると矛盾する点を見つける

次に、同じだと仮定すると、矛盾してしまう点を挙げていきます。

例えば、こんなものが考えられますね。

• 2足歩行と4足歩行
• 尻尾の有無
• 全身の毛の有無
• etc…

あなたは、どれだけ挙げられましたか？

手順3：すごく矛盾する点が多いので、 「犬と人は同じ」という仮定が間違っていたのだとする

2番目で、矛盾する点が多くあることに気づきました。

つまり「犬と人は同じ」という仮定をすることが間違っていたのだと気付いたのです。

手順4：以上より、「犬と人は同じ」という仮説を棄却し、「犬と人は違う」という仮説を採択する

これがいわゆる、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採用する、ということです。

「帰無仮説を棄却する」というのは、「帰無仮説を考えると矛盾がたくさんあったので、間違いだったとする」ということです。

それを、統計の専門用語で「帰無仮説を棄却する」といっているだけなのです。

帰無仮説と対立仮説の例：犬と人を、新薬とプラセボに置き換えてみる

犬と人の例と同じことを、新薬とプラセボに置き換えてみます。

手順1：一度、「新薬とプラセボの効果は同じ」と仮定する。

手順2：同じだと仮定すると矛盾する点を見つける

例えば、糖尿病の新薬だったら、HbA1cの低下具合の違い。

抗がん剤の新薬であれば、生存率の違い。

これらを、どれだけ新薬とプラセボで違いがあるのかを示します。

手順3：すごく違いが見つかったので、「新薬とプラセボの効果は同じ」という仮説が間違っていたと気付く

手順4：よって、「新薬とプラセボの効果は違う」と結論づける

これが、統計的な仮説検定の大枠です。

理解できましたか？

帰無仮説や対立仮説など、統計用語で置き換えてみる

先ほどの２つの例で挙げた、手順1〜4を、統計用語を使って説明します。

普通の教科書では、ここしか出てきません。

でも今のあなたは、例を理解しています。

スポンジに水が入ってくるような吸水力で吸収できるでしょう。

これが、統計の専門用語で示した手順1〜4です。

あなたも一度は見たことがあるのではないでしょうか？

帰無仮説を棄却できない時（統計的な有意差が出なかった時）の統計学的検定の結論は？

ここも多くの方がつまずくポイントなので、解説しておきます。

帰無仮説を棄却したら、当然ながら結論は「新薬とプラセボは違う」ということになります。

では、帰無仮説を棄却できない場合の結論はどうなるでしょうか？

多くの方が「新薬とプラセボは同じ」と言える、と勘違いしています。

ですが、これは間違いです。

人と犬の例を考えてみましょう。

人と犬の間に矛盾がそれほど見つけることができなかったとして、「人と犬は同じ」と結論づけられるでしょうか？

無理がありますよね。

言えることは「人と犬は違うと言えるほどの矛盾を見つけられなかった」ということだけです。

これは統計学的検定でも同じです。

つまり、帰無仮説を棄却できなかった時（有意差がなかったとき）の結論は「新薬とプラセボに差があるとは言えない」ということだけ。

決して、「同じ」という結論を導くことはできないので、ご注意ください。

ここは重要なポイントですね。

ここに関しては動画でも解説していますので、ぜひご覧ください！

「同じ」と言いたいなら同等性試験の考え方を使う

検定で有意差がない場合には、「2群間で同じ」という結論はNGであることがわかりました。

じゃあ、「同じ」と言いたい場合はどうすればいいのか？と言いますと、同等性試験の考え方を使う必要があります。

同等性試験は、同等性マージンと95%信頼区間の位置関係把握で解析します。

そのため、まずは同等性マージンを定義する必要があります。

同等性マージンを決めたら、差の95%信頼区間が同等性マージンの中に入っているのか？を確認するのです。

詳しくは「優越性・非劣性・同等性試験の違いは？なぜマージンを使うのか？」という記事でご確認ください！

帰無仮説と対立仮説のまとめ

• 統計学的検定を実施する際には、「帰無仮説」及び「対立仮説」を立てる必要がある。
• 仮説検定とも呼ばれるのが、この２つの仮説を立てるからである。
• 帰無仮説は無に帰したい仮説、対立仮説は採択したい仮説である。

また、動画でも帰無仮説と対立仮説の内容に関してメルマガ読者の疑問について解説していますので、記事と合わせてご確認いただけると理解が進むはずです。

＞＞有意差がないときの結論は？

統計の世界では最も有名な検定であると言っても過言ではない、T検定。

このページでは、T検定について具体例を用いてわかりやすく解説します。

検定は、帰無仮説と対立仮説を確認することがすごく重要なので、帰無仮説と対立仮説をどう確認するか、というポイントも解説。

そのほかにも、この記事を見ればこれらのことがスッキリしますよ！

• T検定の前にはF検定をする？
• 等分散の過程が必要？
• １標本と２標本？
• 自由度ってどう求めるの？

T検定とは何？具体例でわかりやすく解説！

「世の中にはいろんな検定があるけど、それぞれがどんな検定なのかが分かりません・・・。」

私のところに、そのような質問が多々寄せられます。

確かに統計の検定は数が多くて、結局何をやっているのかが分かりにくかったりします。

そんな時のアドバイス。

どんな検定をしているかを手っ取り早く、そして正確に把握するにはあるものを見ればいいんです。

それは、「帰無仮説と対立仮説」です。

帰無仮説と対立仮説って難しそうな用語ですが、それほど難しいものではありません。

帰無仮説と対立仮説は、「何を検定しているのかを直接文章として記載しているもの」です。

そのため、その検定が何をやっているか、帰無仮説と対立仮説を確認することで一目瞭然なのです。

ということで、本サイトの検定に関する記事では、必ず帰無仮説と対立仮説を載せるようにしますね。

T検定の帰無仮説と対立仮説

では早速、T検定の帰無仮説と対立仮説は何かを見てみましょう。（2標本のT検定の場合）

この帰無仮説と対立仮説を確認して、何がわかりますか？

T検定は平均値に対する検定であることが分かりますよね。

T検定は有名なので、仮説を見なくても「平均値に対する検定だ」とわかるかもしれません。

ですが、これから勉強をするにつれ、初めてその名前を聞く検定が、今後出てくると思います。

その時には、帰無仮説と対立仮説を確認するようにしましょう。

超有名な分散分析でさえ、その帰無仮説と対立仮説をちゃんと確認しないことには、結果を正しく解釈することができません。

T検定を実施する具体例

T検定は平均値を検定する統計的手法だということがわかりました。

であれば、具体的にどんな時にT検定を実施できるでしょうか？

平均値を使うということは、データが「連続量（量的データ）であること」と「正規分布にしたがっていること」の2点が重要です。

そのため、以下のような場合にはT検定が使えますね。

• 新薬群とプラセボ群の患者さんの身長の違いを知りたい
• A大学とB大学の学生の体重の違いを知りたい

T検定にはたくさん種類がある？1標本や2標本、対応ありや対応なしとは？

T検定と検索すると、1標本のT検定とか2標本のT検定とか、2種類出てきますよね。

それらの違いって何？って疑問に思ったことないでしょうか。

私も統計を勉強し始めた頃、全然イメージができませんでした。

でも実は、それほど難しい概念ではないです。

一言でいうと、データが1種類か2種類かの違いです。

例えば。

1. ある時点の、A群だけの身長データ。
   • これは１標本。
2. ある時点の、A群とB群の身長データ
   • これは２標本。
3. ある時点（時点１）の、A群だけのデータと、その１年後（時点２）の、A群だけの身長データ
   • これも２標本。ですが、対応のある２標本と言われています。

で、この1標本と2標本で、T検定のやり方は何か違いがあるの？と思いますよね。

実は、ほぼ一緒です！

なぜかを考えるのに、それぞれの帰無仮説を確認してみましょう。

1. A群の身長の母平均＝０（定数）
2. A群の身長の母平均＝B群の身長の母平均
3. A群の時点１の母平均＝A群の時点２の母平均

で、2と3については、右辺を左辺に持っていく。

すると、結局こうなります。

1. A群の身長の母平均＝０（定数）
2. A群の身長の母平均- B群の身長の母平均＝０
3. A群の時点1の母平均- A群の時点2の母平均＝0

引き算があるかどうかの違いだけで、３つともほぼ一緒じゃないですか？

なので、1標本とか2標本とかによって何かしら新しく考えることがあるわけではなく、結局は同じことを検定しています。

＞＞対応のあるデータ・対応のないデータとは？

T検定をするには事前にF検定を実施して等分散性の確認が必要？

T検定を調べていくと、もう一つ条件が出てきます

それは、等分散性。

等分散性とは文字通り、A群とB群のデータの分散が同じである性質、ということ。

これがあるために一昔前は、以下のフローでT検定を実施されることが多くありました。

Twitterでも悩んでいる方がいましたね。

(研究の話)　結局F検定やって等分散か調べた後にt検定の種類選ぶのがよいのか最初からウェルチやった方がよいのか

— サカユリヤはミジンコストラップ作る人 (@sakayuriya) December 30, 2018

つまり、このような方法をやる必要があるか？

ということです。

F検定（等分散性の検定）を実施
↓
もし有意になれば、等分散ではないとして、WelchのT検定（等分散性の条件がいらないT検定）を実施する。
↓
もし有意でなければ、等分散として、StudentのT検定（等分散性の条件が必要なT検定）を実施する。

私も大学院時代にマイクロアレイ解析をしていた時は、この方法を使っていました。

ですが、今ではこのような方法はほとんど見られません。

理由は大きく2つ。

ということで、WelchのT検定さえ使っておけば、誰も文句言わないです。

等分散を仮定するスチューデントのT検定の方がなぜか有名なので、スチューデントのT検定を実施することが多いかもしれませんが、スチューデントのT検定は「正規性」＋「等分散」の2つの仮定が必要。

それよりも、「正規性」の一つの仮定さえあれば使えるWelchの方がオールマイティーです。

また、分散が実際に等しい場合には検出力がいくらか失われますが、そうでない場合には検出力が増加するという研究結果がありますので、Welchのt検定を実施することをお勧めします。

T検定における自由度の考え方とは？

T検定を実施するのに必要なもう一つの知識。

それが自由度です。

自由度に対する考え方については、別ページで解説しているのでそちらを参照してください。

なのでここでは、T検定に特化した自由度の考え方だけお伝えします。

結論から言うと、T検定の自由度は「データの数ー群の数」です。

例えば、２群のデータで、各群１０個のデータ。

計２０個のデータがあったとします。

この時の自由度は、２０−２＝１８となります。

RでT検定を実践する！

では実際に、サンプルデータを用いて等分散かどうかの判断と、統計学的検定を実施します。

Rをダウンロードした際に含まれている「iris」というデータを使います。

具体的には、以下の3つを実施します。

1. 2種類のアヤメ（setosa, versicolor）ごとにがくの長さ（Sepal.Length）のヒストグラムを作成
2. 2種類のアヤメ（setosa, versicolor）ごとにがくの長さ（Sepal.Length）の要約統計量を算出
3. 上記2つの結果をもとにしてがくの長さ（Sepal.Length）の統計学的検定を実施する

2種類のアヤメ（setosa, versicolor）ごとにがくの長さ（Sepal.Length）のヒストグラムを作成

まずはヒストグラムを作成します。Rでは下記のようにプログラムを実行することによってヒストグラムを作成できます。

#1度だけ実施する。過去にインストールしたことがあれば実行しなくてOK
install.packages("ggplot2") 

#ggplot2を呼び出す
library(ggplot2)

# データの読み込み
data("iris")

# SetosaとVersicolorのデータ抽出
setosa <- subset(iris, Species == "setosa")
versicolor <- subset(iris, Species == "versicolor")

# SetosaとVersicolorのデータを一つにまとめる
iris_new <- rbind(setosa,versicolor)

# データの確認
head(iris_new)

# ヒストグラムを作成
ggplot(iris_new, aes(x = Sepal.Length, fill = Species)) + 
  geom_histogram(position = "identity", alpha = 0.8) + 
  theme_minimal() + 
  labs(title = "Histgram of Sepal.Length", x = "Sepal.Length", y = "Frequency")

上記のプログラムを実行すると、下記のようにヒストグラムが作成されます。

setosaよりもversicolorの方がばらつきは大きいように見えます。

また、どちらの種類も、真ん中が一番盛り上がっており、左右に少なくなっているため、正規分布とみなしてもいいのではないかと思われます。

2種類のアヤメ（setosa, versicolor）ごとにがくの長さ（Sepal.Length）の要約統計量を算出

要約統計量を算出します。Rでは下記のようにプログラムを実行することによって要約統計量を算出できます。

#1度だけ実施する。過去にインストールしたことがあれば実行しなくてOK
install.packages("dplyr")

# dplyr パッケージを読み込む
library(dplyr)

# データの読み込み
data("iris")

# データの確認
head(iris)

# SetosaとVersicolorのデータ抽出
setosa <- subset(iris, Species == "setosa")
versicolor <- subset(iris, Species == "versicolor")


# 種類ごとにがくの長さ（Sepal.Length）の要約統計量を計算
summary_stats_setosa <- setosa %>%
  summarise(
    n = n(),
    mean = mean(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    sd = sd(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    var = sd^2,
    median = median(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    min = min(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    max = max(Sepal.Length, na.rm = TRUE)
  )

summary_stats_versicolor <- versicolor %>%
  summarise(
    n = n(),
    mean = mean(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    sd = sd(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    var = sd^2,
    median = median(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    min = min(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    max = max(Sepal.Length, na.rm = TRUE)
  )


# 計算結果の表示
print(summary_stats_setosa)
print(summary_stats_versicolor)

上記のプログラムを実行すると、下記のような結果になりました。

分散（Var）をみると、Setosaは0.124でありVesicolorは0.266でした。

また、平均値と中央値がほぼ同じ値であることがわかります。

ヒストグラムと要約統計量を確認すると、分散が同じではなさそう、正規分布とみなしても良さそう、と結論づけることができます。

上記2つの結果をもとにしてがくの長さ（Sepal.Length）の統計学的検定を実施する

ヒストグラムと要約統計量を確認すると、分散が同じではなさそう、正規分布とみなしても良さそう、と結論づけたため、Welchのt検定を実施します。

# welchのt検定と結果の表示
t_test_result_unpaired <- t.test(setosa$Sepal.Length, versicolor$Sepal.Length)
print(t_test_result_unpaired)

すると、下記のような結果が出力されました。

	Welch Two Sample t-test

data:  setosa$Sepal.Length and versicolor$Sepal.Length
t = -10.521, df = 86.538, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1.1057074 -0.7542926
sample estimates:
mean of x mean of y 
    5.006     5.936

各群（Setosa群とVersicolor群）の平均、そして平均値の差の95%信頼区間（-1.11〜-0.75）が出力され、p<0.001であることがわかります。e-16は「10のマイナス16乗」の意味で、p値がかなり小さいことを示しています。

T検定に関するまとめ

• その検定が何をやっているかは、帰無仮説と対立仮説を見ればわかる。
• T検定は、平均値の違いを検定する方法。
• 1標本とか2標本とかあるけど、本質は一緒。
• WelchのT検定さえ使っておけば、間違いはない。

また、動画でもT検定に関して解説していますので、合わせてご確認いただけると理解が進むはずです。