統計学では、確率密度や確率密度関数といった語句がよく出てきます。

これらの言葉は、”確率”としばしば混同されて使われていますが、確率と確率密度は大きく異なります。

では、確率と、確率密度や確率密度関数は何が違うのでしょうか。

この記事では、統計学での重要単語”確率密度と確率密度関数”についてわかりやすく出てきます。

確率密度関数とは？理解するのに重要な確率変数

確率密度の話をするには、はじめに確率変数の話をする必要があります。

確率変数は、”ある変数の値をとる確率が存在する変数”です。

例えば、サイコロを例にして考えてみましょう。

サイコロは1、２、３、４、５、６と6つの目があります。

サイコロの各目が出る確率は1/6ですから、それぞれのサイコロの目は確率変数です。

身長の例を考えてみましょう。

身長のデータが得られて、ヒストグラムを作成してみると、下記のようになります。

そして、上記のヒストグラムを滑らかにしてみると、下記のようなグラフになります。

確率変数は、上の2つ図では横軸にあたります。

この確率変数は、確率変数の性質によって、

• 離散確率変数
• 連続確率変数

2種類に分けることができます。

離散変数は上のヒストグラムやサイコロの目のように、変数が飛び飛びで存在しているものを指します。

>>>ヒストグラムとは？エクセルでの作成方法と解釈を簡単にわかりやすく

サイコロの目は1から６と連続のように思えますが、これは飛び飛び、つまり離散的です。

連続な値は1、1.0000001、1.001111といったように、シームレスに繋がった値のことです。

1、1.1、1.2のような小数刻みでも離散的な値になります。

＞＞データの種類に応じて解析方法は決まる

確率変数が離散的な場合、各変数が生じる可能性が”確率”

離散的な変数の時とき、各変数が生じる可能性を”確率”と言います。

これは中学や高校などでも習う概念で、サイコロの目や、コインの表と裏のような話です。

ここではサイコロを例に考えてみます。

サイコロで1が出る確率は1/6です。

つまり各目が出る確率は1/6で、確率変数が6個あるので、

サイコロを振ってどれかの目が出る確率は1/6 x 6 = 1となります。

確率変数が連続変数の場合は？

次に、連続確率変数を考えます。

連続確率変数は上の２つ目の図のように、変数が連続的なものを指します。

例えば、1から6までの連続確率変数があったときに生じうる変数は、1.1や1.1111、1.010101といった様々な変数をとることができます。

もし、サイコロの時のように1から6までの値が生じる可能性が1/6の一様だったとしましょう。

このとき、どれかの値が出る可能性はどうなるでしょうか。

離散変数と同じように、確率で考えた場合。

1/6 X 無限　= 無限

と可能性が1ではなくなってしまいます。

これはおかしいですよね。

つまり、連続変数の場合では、従来の確率の概念を使うことができなくなってしまいます。

確率密度とは？一様分布の例で面積との関係や求め方をわかりやすく！

先ほど、連続確率変数では、確率の概念を用いるとおかしくなるということを見ました。

そこで、用いる概念を確率密度と呼びます。

先ほどの例を考えますと、1から6までの連続確率変数で、全ての値が一様な可能性で出るとします。

このような時は、1から6までの値の合計、つまり、何かの値が出る確率が1になるように定義します。

イメージは下の図ですね。

このイメージで高さに対応するものが、確率密度になります。

横の幅は6 − 1 = 5で、5ですので、確率密度は1/5となります。

では、ここで問題です。

上の例で2が出る”確率”はいくらでしょうか。

答えはほぼゼロです。

理由は、1/無限　= ほぼゼロだからです。

では2ぐらいの値（1.5から2.5まで）が出る確率はいくらでしょうか?

答えは1/5です。

この理由は、1/5x (2.5 −1.5) = 1/5 だからです。

連続変数では、高さが確率密度で面積が確率

このように、連続変数では確率は面積に対応します。

確率密度は上記の図で言うと、面積の高さに相当します。

高さである確率密度に、横幅である確率変数の範囲をかけて面積を求めることでようやく確率になります。

確率変数の幅というのは、以前に正規分布のところで出てきました。

これですね。

ある範囲に値が含まれている可能性という考え方は、統計学では広く用いられており、

それに伴い、確率密度の概念も広く用いられています。

>>>正規分布とは？簡単にわかりやすく標準偏差との関係やエクセルでのグラフ化を解説

>>>標準正規分布表の見方について！標準化やZ値の計算式はどうすればいい？

確率密度関数とは？正規分布の場合を例にわかりやすく

確率密度関数は確率密度と確率変数の関係を表した関数のことを表しています。

代表的な確率密度関数といえば、

正規分布の関数がそれにあたります。

これですね。

>>>正規分布とは？簡単にわかりやすく標準偏差との関係やエクセルでのグラフ化を解説

ここでは、難しい数式は取り上げませんが、確率と確率密度の関係は一般的には積分の形で表しています。

確率密度関数に関するまとめ

離散確率変数では、ある確率変数が生じる可能性を確率という

連続確率変数では、確率密度という概念を用いる。

連続確率変数では、確率密度と確率変数の幅の積が、確率に相当する。

連続確率変数と確率密度の関係を表したものを確率密度関数という。

確率密度は少し難しい概念ですが、統計学で非常に重要な概念です。

少しずつ慣れていきましょう!!

臨床試験（治験）では、必ず統計解析担当者が試験を実施するメンバーに入ります。

治験は、大きく分けて３つ。

第I相試験、第II相試験、第III相試験です。

それぞれ３つの試験ごとに、試験の目的も変わりますし、統計解析担当者が考えていることも変わります。

ですが、共通して考えていることは、バイアスの回避です。

バイアスの回避のために必ず行うことが、SAP（解析計画書）の作成ですね。

この記事では、なぜ臨床試験（治験）で統計が必要なのか、そしてSAPが必要なのか。

３種類ある臨床試験それぞれで統計解析担当者が何を考えているのか。

さらにはバイアスの回避ということを考えてみます。

SAP（統計解析計画書）は臨床試験（治験）で必要？

医薬品開発で統計が果たす５つの役割をまとめてみます。

治験での統計の役割1： 結果を要約するということ

個別データを十分に吟味することも重要ですが、最終的に個別データを報告することはできません。

何らかの形でデータの要約を実施しないことには、たくさんのノイズからシグナルを発見することが困難です。

そのため、平均値や分散などがデータを要約するのに用いられます。

治験での統計の役割2： 結果を判断する材料の提供

データを要約するだけでもある程度の結果を判断することが出来ます。

ですが、ヒストグラム、箱ひげ図、散布図などのグラフを作成することでも様々な情報が得られます。

さらに、検定や95%信頼区間を計算することが、論文などで結果を記述するために必要になります。

治験での統計の役割3：結果の一般化と言い過ぎの防止

試験から、何かしらの傾向があったとします。

しかしながら、この傾向はたまたまの偶然によって生じたものかもしれません。

そのため、得られた結果が偶然の範囲内なのか、それとも偶然を超えた意味ある変動かを判断する必要があります。

治験での統計の役割4：客観化、標準化

臨床試験に関して、研究者の主観に依存して、結果の評価や結論が異なるのは困ります。

そのため、何らかの形で客観的な評価を行う必要があります。

統計は、計算さえ間違わなければ、誰でも同じ結果が得られます。

治験での統計の役割5：科学的で効率的な実験の構成

統計学は、データが出た後で使うものだと考えている人が多いかもしれませんが、これは認識の誤りです。

本当は、データを取る前のほうが重要な役割を果たします。

試験のデザインをどのように組むことが効率的で、何例の患者さんが試験に入ればよいかを決定するうえで、統計学的な考慮は重要になります。

このように、臨床試験において統計学は非常に重要な役割を果たします。

治験で統計が一番必要な場面

統計学の役割として一番大きいのは、結果の一般化と言い過ぎの防止だと思っています。

私も仕事柄、さまさまな試験を担当し、様々なデータを取り扱ってきました。

その中には、主要な解析で結果が良くないものもしばしば含まれます。

そんな時、周りの方が絶対言うのが「効いているところを探してくれ」ということです。

統計学的には、上記のようなことはナンセンスです。

たくさんある検査項目の中で、やみくもにデータをいじくりまわしてあるところに効きそうな結果が出ても、それは偶然の要素が大きいということです。

これは、結果だけでなくその薬剤の特徴や試験に入った患者さんの特性などを考慮して慎重に扱うべきです。

まるで宝を探し当てたかのように大騒ぎになることがありますが、何のことはない、偶然です。

それを理論的に制するのが臨床試験の統計担当者にとって、一番苦労する仕事かもしれません。

臨床試験の第I相試験での統計学の役割

第I相試験でも統計解析担当者がメンバーに入りますが、実はデザイン段階では統計解析担当者が担う部分は少ないです。

というのも、第I相試験は人での薬物濃度や安全性をざっくりと確認する試験だからです。

非臨床（動物実験）での薬物動態（PK）データ薬力学（PD）データを踏まえ、用量を決めることが試験を始める段階で一番重要です。

そのため第I相試験では、統計担当者ではなく薬理担当者の出番が多いです。

症例数に関しても、通常は１アームに対して、プラセボ群2例と実薬群6例などのダブルブラインド試験にすることが多いです。（抗がん剤以外の薬剤の場合です。抗がん剤の試験ではこの限りではありません。）

この症例数は統計学的仮説に基づくものではなく「薬物動態と安全性を探索的に検討するのに必要な例数」という決まり文句で決定されます。

そのため第I相試験では、症例数に関して検討することは比較的少ないです。

第I相試験の症例数はいつも、プラセボ群２例、実薬群６例か？

製薬企業としては、承認申請に耐えうるデータを取りつつも、試験を早く安価に実施したい、という思いがあります。

これは営利企業では当たり前の姿勢ですし、安価に開発することができれば、その分発売した時の価格を低くできるので、社会にとっても有意義です。

実は、薬の開発で一番お金がかかるのが、臨床試験に入る症例数の人数です。

本当に、何千万円単位で費用がかかります。。

そのため、治験の費用を抑えるために一番手っ取り早いのが、症例数を少なくすることです。

以上の理由から、私も過去には「プラセボ群2例、実薬群6例」よりも少なく出来ないか？という相談を受けた経験が何度もあります。

しかし、第I相試験の症例数は、統計学的な計算に基づいた症例数でないため、統計的な観点からアドバイスできることは限られています。

ですが、第I相試験では薬物動態と安全性が検討出来ればよいため、もし薬物動態のバラツキが個体間で小さいような場合には、もう少し症例数を少なくするという選択肢も可能かもしれません。

このような疑問があった場合には、統計解析担当者や薬理担当者に相談してみることが良いです。

第I相試験での統計担当者の重要ポイント：ブラインド項目があるかどうかだけは確認しよう

ブラインド項目という言葉を知っていますか？

通常は1アームに対して、プラセボ群2例と実薬群6例のダブルブラインド試験にすることが多いと書きました。
では、Key情報（薬剤群の情報）をブラインドにするだけ十分でしょうか？

実は、もうちょっと検討しなければなりません。

というのも、薬剤の作用機序上、通常の検査でその人がどの薬剤群かどうかがばれてしまうことがあります。

例えば、糖尿病薬として2014年に販売された、SGLT2阻害剤という薬を考えてみましょう。

この薬剤の作用機序としては、腎臓での糖の再吸収を阻害し、尿と一緒に排出するすることで、血中の糖を下げてしまうという薬です。

そのため、尿中の糖の検査をリアルタイムで実施すると、必ず誰が実薬群であるかが分かってしまうのです。

このように、直接の薬剤情報ではなくても、何かしら検査を行った場合にその人がどっちの群かどうかがわかってしまう項目があります。

これは、ブラインド試験であった場合に、試験が終わるまで試験の実施者には開示しない方が良いですよね。

これをブラインド項目、と呼びます。

なぜブラインド項目が重要かというと、ブラインド項目の情報を知った時に薬剤群の情報が知られてしまい、試験結果にバイアスが入る恐れがあるからです。

だから、ブラインド項目がないかを事前に確認する必要があります。

試験実施後の統計解析担当者の役割

試験実施後には、とにかく集計です。

集計とは、要約統計量を算出するということです。

要約統計量として何を出力するかはまた悩ましいところですが、N、平均、SD、中央値、最小値、最大値、が出ていれば第I相試験としては問題ありません。

あらゆる検査項目に対して、上記の項目を出力するような集計を実施します。

また、第I相試験での症例数ぐらいであれば、データの一覧表を眺めることも重要になります。

100人や1000人の試験を一覧表で確認することは難しい（というか不可能）ですが、1群6例であれば、気になるデータを一つ一つ確認することも重要です。

そのために、散布図や個別推移図（スパゲティプロット）を作成して確認することも有意義です。

CSR作成では、統計担当者は結果を言いすぎていないか？をチェック

臨床試験を実施後は、必ず試験報告書（CSR；Clinical Study Report）を作成しなければいけません。

その際に確認することは大きく２つです。

• 集計が適切に反映されているか
• 結論が飛躍していないか

「1群6例の試験で決定的なことは何も言えない」というスタンスを常に持ち、結果に対する言い過ぎがないかを確認していくことが重要になります。

臨床試験の第II相試験での統計学の役割：SAP（統計解析計画書）作成が必要

第II相試験からは、統計解析担当者の役割が大きくなります。

その理由は、第I相試験よりも試験デザインがより複雑になるためです。

試験のデザインが複雑になるということは、試験デザインに対して考えることができる自由度が高くなります。

そのため、科学的妥当、かつ、効率的に実施するにはどうすればよいか？ということも考えていく必要があります。

第II相試験を計画する段階で統計解析担当者が考えていること

第II相試験の計画段階で統計解析担当者が考えていることは、大きく分けて５つぐらいあります。

1. 症例数（サンプルサイズ）の設計
2. 検定の多重性の有無
3. 層別因子の有無
4. 中間解析の必要性
5. データの取り方

まず、試験の前に症例数を設計する必要があります。

第II相試験は検証的試験ではないため、αエラーやβエラーを厳密にコントロールする必要はありませんが、症例数は統計学的な仮説に基づいて設計することをお勧めします。

そして、第II相試験は用量反応性を確認することが多いため、群が多くなります。

その際に、統計的検定をそのまま実施すると、多重性の問題が生じてきます。

そのため、多重性をコントロールするにはどういう方法を取らなければならないかを決めておく必要があります。

次に、層別因子を検討します。

層別因子とは、主要評価項目に影響を及ぼすと考えられる、背景情報のことです。

この主要評価項目に影響を及ぼすと考えられる背景情報が群間で偏っていた場合には、結果が薬剤によってもたらされたものなのか、それとも背景情報の違いによってもたらされたものなのか、の区別がつかなくなるためです。

これを交絡バイアスと呼びます。

そして、中間解析を実施する必要性があるかかどうかも検討します。

現在は、臨床試験を効率的に実施するために様々な試験デザインが提案されてきています。

その最たるものが、中間解析を利用した試験です。

中間解析にはその性質によって、様々な用途として使うことが出来ます。

試験を早期に終了させたり、症例数をあとで追加する、といったことを検討することができます。

ただし、この中間解析に関しても、実施にはバイアスが入ってくるリスクが発生するため、実施にはリスクとベネフィットを天秤にかける必要があります。

そして、とても重要なのが、データをどう取るか？ということを考えることです。

試験の計画が決まれば、どのような結論に持っていきたいかということまで考えることが出来ます。

そして、その結論に持っていくにはどのようなデータを取る必要があるか？を考えることが出来るということです。

これが考えれれれば、あとはデータを取得するためのフォーム（CRF；Case Report Form）を設計していくことが可能になります。

CRFの設計は、ダイレクトにデータ解析の効率に関係していきますので、ぜひとも統計解析担当者と議論しながら作成したいところです。

第II相試験中の統計解析担当者の役割

第II相試験も、何か倫理的な問題がない限りダブルブラインド試験にすることが多いです。

また、統計学的な仮説に基づいた症例数ということは、試験後には統計的検定を実施することになります。

そのため、ブラインド下でデータを確認し、主要評価項目に対する解析は計画した通りで本当に大丈夫か？第I相試験では確認できなかった、主要評価項目に影響を及ぼすさらなる背景情報はないか？などを検討します。

これをブラインドレビューと呼びます。

そして、全てのデータが準備完了する前までに、解析計画書（SAP）を作成する必要があります。

解析計画書はブラインドレビューの結果を踏まえてデータの固定前、もしくは開鍵前前までに最終化する必要があります。

第II相試験後の統計解析担当者の役割

試験後には、解析計画書に準じて解析を実施することが重要です。

そして、解析計画書で計画した解析が一通り出そろったところで、この試験の結果を解釈するのに追加すべき解析はないか？を考えます。

解析計画書をデータの固定前、もしくは開鍵前前までに最終化するということは、そのあとに追加解析を実施してはいけないのではないか？という疑問もあるかもしれませんが、追加解析は許されています。

ただ、その結果の取り扱いには注意が必要です。

例えば、追加解析として検定をすることは許されません。

主要な結果はあくまでも事前に計画された結果しか主張することが出来ません。

その結果をサポートするための解析という位置づけであれば、追加解析が許されるということです。

臨床試験の第III相試験での統計解析担当者の役割：SAP（統計解析計画書）の作成が超重要

第III相試験の目的は、その薬剤が本当に有効性と安全性を両立している薬剤か、を検証することです。

有効性の検証には、統計学的検定が用いられます。

この検定の結果、P値が0.05未満であれば有効性が検証されたことになり、薬剤としては成立することになります。

もしP値が0.05を上回るようであれば、今までの努力が水の泡になってしまいます。

そのため、第III相試験前までに実施した試験のありとあらゆるデータを吟味したうえで、第III相試験を計画する必要があります。

そして、そのようなデータの解釈に強いのが統計解析担当者ですので、第III相試験ではその役割が重要になってきます。

第III相試験計画時の統計解析担当者の役割

試験計画時は、実は第II相試験とやることはあまり変わりません。

今までのデータを十分吟味して、計画するということです。

一つだけ違う点では、今度は承認申請を見据えた計画をする必要があるということです。

承認申請をするには、第III相試験で主要評価項目が検証されることが必要ですが、その他にも、その薬剤の安全性のための症例数が十分か？ということも重要になってきます。

例えば、慢性疾患（糖尿病や高血圧など）の領域では、１年間の実薬群の安全性データを１００例以上集めなさい、という決まりがあります。

また、承認された後の売り上げを考えた際に、追加しておきたい評価項目がないか、そしてその項目はどのようにデータを示す必要があるのか、といったことを考える必要があるのです。

第III相試験中の統計解析担当者の役割

これも第II相試験とやることはそれほど変わりません。

ただ、検証的な性質があるため、ブラインドレビューの重要性がより一層増すということは言うまでもありません。

ブラインドレビューでは色々なことを考える必要があります。

主要評価項目に影響を与える背景情報を探索することもそうですが、主要評価項目のバラツキは事前に考えていたものより大きくないか、欠測データをどう扱うか、解析対象集団をどうするか、そういったことも考える必要があるのです。

そしてデータ固定の前までには、統計解析計画書（SAP）を作成する必要があります。

第III相試験後の統計解析担当者の役割

これも、第II相試験と同じです。事前に定めた解析計画書に基づいて、解析を実施します。

そしてP値が0.05を見事に下回った場合には今度は申請が待っていますので、今までの試験データを統合した解析を実施する必要も出てきます。

この承認申請のための解析計画も事前時用意することが望ましいです。

というのも、競合が多い薬剤開発の中では、承認申請をいかに迅速に実施できるか、ということがカギになるからです。

SAPは臨床試験（治験）でいつでも必要？まとめ

統計解析担当者の役割は、試験の相によって異なってきます。

一般的には、I相＜II相＜III相の順に、その役割の大きさが大きくなっていきます。

特に第III相試験での統計の役割は、試験計画時から試験終了後まで多岐に渡ります。

いずれの試験にせよ、解析方法は統計解析担当者の協力なくして実施することは不可能です。

というのも、どの試験であっても重要なことは「バイアスを回避すること」です。

バイアスに関して一番精通しているのが統計解析担当者ですので、必ず試験前には相談しましょう。

そのためにも、より密な関係を気付いて、いつでも相談し合える関係になっておくことが重要です。

統計本の教科書の巻末には、必ずついている標準正規分布表。

数字がびっしり書かれていてとても難しそうだし、見方もわからない。。

でも、実は、標準正規分布表はとっても便利です！

ここでは、標準正規分布と標準正規分布表の見方、そしてZ値との関係について、わかりやすく説明していきます。

標準正規分布と標準化によるZ値の求め方は？

まずは標準正規分布について。

標準正規分布は、“ある範囲にどれくらいの観測データが含まれているか”を知るのにすごく便利です。

標準正規分布って何?

標準正規分布は、平均が0で、標準偏差が1の正規分布です。

正規分布とは？簡単にわかりやすく標準偏差との関係やエクセルでのグラフ化を解説

で紹介しましたが、正規分布の2つの大事な特徴は

1. 正規分布の形は平均と標準偏差（データのバラツキ）で決まる。
2. 標準偏差がわかれば、その範囲にどれくらいの観測データが含まれているかが分かる

ことです。

標準正規分布では、平均も、標準偏差もすでに決まっている（平均は0、標準偏差は1）ため、1つの形しありません。

そのため、標準正規分布では2つ目の特徴”その範囲にどれくらいの観測データが含まれているかが分かる“にのみ注目することができます。

どのような形の正規分布でも、標準正規分布に変換することができます。

正規分布から標準正規分布に変換することを、”標準化”と呼びます。

正規分布のデータを標準化（Z値への変換）してみよう

それでは、早速、標準化のやり方を紹介していきます。

標準化は次の2ステップで行います。

1. データ値xから平均を引く
2. データ値xから平均を引いた値を、標準偏差で割る

式で書くと下の式になります。

標準化したデータはz値（zスコア）と呼ばれます。

この簡単な操作だけで、どんな正規分布も標準化することができます。

次に標準化正規分布とセットで用いる、標準化正規分布表について紹介します。

標準正規分布表の見方や使い方！Z値がマイナスな時は？

標準正規分布表を使うと、正規分布に従うデータで、“あるz値以上（以下）が生じる確率が何%か”が一瞬でわかります。

標準正規分布表って何?

標準正規分表は”ある値以上が生じる確率”をまとめた表です。

“あるz値以上が生じる確率”は標準化分布でいうと、下図の緑色の部分の面積に対応します。

標準正規分布表には、様々なz値での確率（緑の面積）がまとめれています。

z値における、確率ではないので気をつけてください!!

標準化正規分布表の見方

標準正規分布表の見方は以下のようです。

1.  一の位と小数点一桁目の数字を縦で探す。
2. 小数点二桁目の数字を横で探す。
3. 二つが交わるところの数値を読み取る。

標準正規分表には下のように数字がびっしり書かれています。

でも、見方は簡単です!!

例えば、z値が1.53を考えてみます。

はじめに、”一の位と小数点一桁目の数字を縦で探す”を行います。

z値が1.53では一の位と小数点一桁目は1.5です。

ありました。

次に、”小数点二桁目の数字を横で探す”を行います。

最後に、”二つが交わるところの数値を読み取る”と、確率は0.06301ということがわかります。

0.06301を％に直すと、約6.3% ですね。

標準正規分布表の使い方：実際に使って問題を解いてみよう

では、早速この標準正規分布を使って見るために、次のような問題を考えます。

「あなたが、あるテストを受験したとします。あなたは88点の成績を取りました。そのテストの統計結果は平均が50点、標準偏差が10点でした。あなたの得点は上位何%でしょうか?」

この問題は標準化正規分布を使えば簡単に解くことができます!

問題を解くはじめのステップは、データを標準化することです。

1つ目ステップ”データ値xから平均を引く”に従って計算します。

値x − 平均 = 88 – 50 = 38

次に、２つ目のステップ”データ値xから平均を引いた値を、標準偏差で割る”に従って計算します。

(値x − 平均) / 標準偏差 = 38 / 10 = 3.8

この3.8の数字が、あなたがとったテストの点の標準化されたz値です。

この値から、あなたの得点は上位何%でしょうか?を解くために

上の標準正規分表を見ます。

3.8と0なので、0.0007ですね。

つまり、あなたは上位0.07%に相当するということになります。

標準正規分布表の使い方：z値（zスコア）がマイナスのとき

z値がマイナスの値の時はプラスと読み替えて用います。

もう１問を考えてみましょう。同じテストですが、あなたの点数が平均点より低かった時で考えてみます。

「あなたが、あるテストを受験したとします。あなたは45点の成績を取りました。そのテストの統計結果は平均が50点、標準偏差が10点でした。あなたの得点は上位何%でしょうか?」

まずは、同様にデータを標準化します。

1つ目ステップ”データ値xから平均を引く”に従って計算します。

値x − 平均 = 45 – 50 = -5

数字がマイナスになってしまいました。次に、２つ目のステップ”データ値xから平均を引いた値を、標準偏差で割る”に従って計算します。

(値x − 平均) / 標準偏差 = -5 / 10 = -0.5

この-0.5の数字が、あなたがとったテストの点の標準化されたz値ですが、この表には載っていません。

どうすればいいのでしょうか。

ここで、正規分布は左右対称だという点を思い出してください。

そのため、-0.5は0.5とマイナスをプラスと読み替えます。

すると、標準正規分布表では、0.30584となります。

読み替えたため、下位から0.30584に存在することを意味します。

問題では上位何%かなので、換算するために、次のように計算します。

1 – 0.30584 = 0.69416

よって、答えは0.69416となり、上位約69%になります。

標準正規分布に関するまとめ

• 標準正規分布は、“ある範囲にどれくらいの観測データが含まれているか”を知るのにすごく便利
• どんな正規分布も標準化により標準正規分布に変換することができる
• 標準正規分布表を使うと、”あるz値以上が生じる確率”が何%かが一瞬でわかりる
• z値がマイナスのときはプラスと読み替る

＞＞要約統計量とは？何を出力すればいいの？

＞＞95%信頼区間とは何？1.96の意味とは？

＞＞ヒストグラムとは？

＞＞正規性の検定は必要なのか？

医薬統計で扱うデータの種類は多岐にわたり、そのデータの特性によって統計解析手法や検定手法が異なります。

逆に言えば、データの種類が決まれば自ずと解析手法も変わるということ。

主なデータの種類は、量的データ（連続尺度）、質的データ（名義尺度）、生存時間データなどがあります。

この記事では、各データがどのような特性を持っているかを理解し、データの種類に応じてどのような統計解析手法が適用されるかを学びましょう。

質的データや量的データとは？具体例を用いてわかりやすく解説！

医薬統計において、扱うことが多いデータは大きく分けて3種類です。

1. 量的データ（連続尺度、連続データ）
2. 質的データ（名義尺度、カテゴリカルデータ）
3. 生存時間データ

量的データや質的データは、医薬統計じゃなくても扱うことが多いです。

生存時間データに関しては、医薬統計で独特のデータかな、と思います。

次の章から、それぞれのデータがどのような特徴を持っており、それに応じてどのような統計学的な検定手法が採用されるのか、理解していきましょう。

データの種類1：量的データ（連続尺度、連続データ）とは？その統計解析手法

世の中で最もありふれているデータが量的データ（連続尺度）です。

量的データとは、身長や体重のように、精度の高い測定法によればいくらでも正確な値が得られるデータのことです。

実際は離散量であるが連続量として取り扱ってもかまわないようなものもあります。

例えば、試験の点数などは一般的に、90点や91点という値を取りますが、90.2点や90.8点という点数は取りません。

ですが、そのような場合であっても連続データとして取り扱うと都合が良い場合が多いため、連続データとして扱います。

連続データのもう一つの特徴としては、データ上のどこであってもその間隔が同じ意味を持つ、ということです。

例えば身長であれば、150cmと155cmの間の5cmと、190cmと195cmの間の5cmは同じ意味を持ちます。

試験結果も、10点と30点の間の20点と、80点から100点の間の20点では、同じ意味を持ちます。

「データ上のどこであってもその間隔が同じ意味を持つ」という特徴は、当たり前のようなことではありますが、実はカテゴリカルデータとの違いを認識するために重要な特徴でもあります。

このような量的データに対しては、平均値や分散などの要約統計量を算出するのが望ましいですね。

以下のような表を作成できれば、完璧です。

また、グラフとしてはヒストグラムで正規分布に従っているかどうかを確認したり、箱ひげ図で中央値や四分位範囲を確認することがとても良いアプローチです。

そして、統計学的検定としては、パラメトリック検定ならT検定を、ノンパラメトリック検定であればウィルコクソン検定を実施することが良いです。

データの種類2：質的データ（名義尺度、カテゴリカルデータ）とは？分割表作成が重要

次は、質的データ（名義尺度、カテゴリカルデータ）についてです。

カテゴリカルデータと聞いて、あなたはどのようなデータか想像できますか？

カテゴリカルデータの一例としては、性別が挙げられます。

男性というカテゴリと、女性というカテゴリに分けられますね。

性別のように数値化できないデータ、または、数値化したとしてもその数字の間隔に意味がないもののデータのことを、カテゴリカルデータと呼びます。

例えば商品アンケートで「この商品の感想を教えてください」という設問に対し「良い、普通、悪い」という３つから選ぶとします。

その設問のアンケートデータを「３点、２点、１点」というように、点数化することもできますね。

ですが、この３点と２点の間の１点、もしくは２点と１点の間の１点に関して、同じ１点ですがその間隔は同じ意味を持つとは限りません。

そのような場合、やはりカテゴリカルデータとして扱うほうが適切です。

カテゴリカルデータの要約方法は簡単です。

数と割合の二つを出力すれば、基本的には問題ありません。

さらには、これらを表形式でまとめることをお勧めします。

分割表と呼ばれる表を作ることが、カテゴリカルデータの要約方法としては適切です。

分割表の例としては、100人の男女に右利きか左利きかを聞いてみた結果の表が以下になります。

分割表から読み取れることはとても多いのですが、その詳細は別ページで解説していますので、そちらをご参照ください。

そして、カテゴリカルデータの統計学的な検定手法です。

２つあります。

1. フィッシャーの正確確率検定
2. カイ二乗検定

この２つさえ理解しておけば、全く問題ありません。

２つの検定の使い分けですが、分割表で5未満のセルがあれば、その時にはフィッシャーの正確確率検定を実施することが良いです。

それ以外の場合には、カイ二乗検定を実施することで問題ありません。

ただ、理解の仕方としては「サンプルサイズが小さい時にカイ二乗検定はNG。サンプルサイズが小さくても大きくてもフィッシャーの正確確率検定はいつでも使ってOK」という理解をしていただければと思います。

多変量解析としては、ロジスティック回帰分析を使うことになります。

データの種類3：生存時間データ

医薬統計では、生存時間データというものを扱うことがあります。

がん領域を知っている方であれば恐らく知っているデータの種類だと思いますが、それ以外の方はあまりなじみがないかもしれません。

生存時間データを解析する統計手法を、生存時間解析、と呼びます。

生存時間解析を一言でいうと、その名の通り「時間」を解析する方法です。

時間は、「1時間」とか「75日」とか、連続データとして扱って解析しても良さそうです。

連続データとして扱えば、T検定やウィルコクソンの順位和検定を使えばいいですよね。

ではなぜわざわざ生存時間解析、というものを使うのでしょうか。

詳しくは生存時間解析の基礎のページで解説していますが、「イベント」と「打ち切り」という概念があるため、連続データとして扱うと不都合が出てきます。

そのため、生存時間解析という、また別の枠組みで解析する必要があるのです。

生存時間解析でのグラフとして有名なのが、カプランマイヤー曲線ですね。

カプランマイヤー曲線では、中央値やX年生存率が一目でわかる、かなり有用なグラフです。

下記のグラフが、カプランマイヤー曲線の一例です。

そして、検定としてはログランク検定と一般化ウィルコクソン検定が有名です。

多変量解析としてはCox比例ハザードモデルですよね。

「カプランマイヤー曲線」「ログランク検定」「一般化ウィルコクソン検定」「Cox比例ハザードモデル」の4つを理解していれば、最低限の生存時間解析は可能です。

データの種類4：カウントデータ

これはあまりなじみがないかもしれません。

生存時間データの目的の反応は、観測対象となる個体に、一度だけ起きる事象だとしました。

しかし、データによっては、複数回起きる事象があります。

例えば、血友病という病気は血が固まりにくく出血が起こりやすい病気です。

出血というのはその人に一度だけ起きるとは限らず、1年間に10回など、複数回起こりえますね。

そのような場合に、出血回数をカウントデータと呼ぶことがあります。

もちろん連続データとして扱うことも可能なのですが、カウントデータの性質として「観察期間に応じて回数は増える」という性質があります。

そのため、観察した期間を考慮して解析をしなければなりません。

また、このデータは、もし「初めての出血までの時間」というものに興味があるとき、生存時間データとして扱う必要があります。

質的データや量的データに関するまとめ

医薬統計を実施する上で、重要な「量的データ」「質的データ」「生存時間データ」「カウントデータ」の3種類（＋1種類）のデータを紹介しました。

これらの扱い方がわかれば、医薬統計としてはほぼ網羅できますので、是非とも理解しましょう！

＞＞2群のデータはどうやって解析する？

世間一般的に難しいとされる、医療統計。

そのため、いざ医療統計を勉強しようと思って本を開いたとしても、なかなか続かない。。

「やっぱりこれがいいんじゃないか！？」と思って、他の医療統計に関する本を購入してみても、半分も続かない。。

気づけば医療統計に関する本を10冊も買ってたよ。。

・・・なんてことになっていませんか？

今回の記事ではそんなあなたのために、医療統計を勉強する上で本当におすすめできる本やブログなどを紹介していきます。

医療統計を勉強するのに役立つものはある？

医療統計はけっこう知識が多岐に渡っているため、勉強しようにも「何から手をつけていいのかわからない・・・」という状況になったりしますよね。

私も医療業界に入りたての頃は、「何で勉強すればいいの・・・？」という感じでオロオロしていました。

で、今では医療統計に関してコンサルなんかをやっているわけですが、その中で医療統計を勉強する上で”最初に絶対にやってはいけないこと”はなんとなくわかりました。

それは、統計の数式から勉強しようとすること。

これは、絶対にやってはいけないですね。

なぜならば、本当に医療統計が嫌いになるからです。

そして、”理論を学んでも実際にデータ解析をする上で全く使わない”からです。

だから、モチベーションがなくなってしまう。。

医療統計を勉強する意味は？

実は医療統計を勉強するのに本当に重要なことって、”どうやってデータをまとめて解釈するのか”ですよね。

だって日々のデータ解析は、データをまとめて”結果や解釈”を論文化したり学会発表したり会議で発表することなので。

決して、勉強した統計学の理論を学会や会議で発表したりしないはずです。

（統計専門家の学会なんかは別ですよ。）

例えば、Wikipediaで標準偏差を検索するとこんな説明が出てきます。

これ、実際の業務でいつ使います？？

だって、Excelでやれば「=stdev.p(データ)」で簡単に標準偏差が出てくる時代です。

そのため実際の業務に必要なのは、標準偏差の数式の定義よりも『標準偏差はどのようなデータに対して適用するのが正しいのか』そして『標準偏差の数値の意味は何か』を正しく理解できることではないでしょうか。

なので、本当に統計を”使う”と割り切るなら

• データを人一倍いじってみて
• データを可視化してみて
• データを理解する

ことの方が、教科書を開いて勉強するよりよほど重要です。

それに、教科書を開いて数式を理解するよりデータをいじるほうが楽しくないですか？

医療統計を勉強するのに重要なディスカッション

そして、データをいじって理解するのに重要なのが「ディスカッション」です。

だって、「このデータ解析方法で合っているのかな？」とか「この結果の解釈はどうすればいいの？」ということを、実際に医療統計を知っている人に聞きたいですよね。

だからこそ、医療統計を知っている人とのディスカッションが大事です。

でも、医療統計をディスカッションできる人なんていないよ。。

と思っているのであれば、ぜひ私とディスカッションしましょう！

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たとえば、この動画もメルマガ会員さんからの質問に答えた動画ですね。

もし私に質問いただければ上記のようにお答えさせていただきますので、ぜひメルマガ登録をしてみてくださいね。

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医療統計の全体像を把握するのに本当におすすめできる本トップ3

私が今まで「本当に役に立ったなぁ」と思った本を紹介します。

この本をマスターすれば、最低限の知識は持てることになるはずです。

たくさん紹介されても気が重くなると思いますので、3冊に絞りました。

医療統計のおすすめ本その1：学会・論文発表のための統計学

まずはこれ。

私が本当にお世話になった本です。

この本は、私が製薬企業に入社して初めて読んだ統計の本。

数式も少なめで、読み物として読むことができます。

野球の球団の話を例にしていたりと、とっつきやすい本。

私が”標準偏差”と”標準誤差”の違いもわからなかった時代に、本当にお世話になりました。

この本は、私は10回ぐらいは読みましたね。

それぐらいの良書です。

医療統計のおすすめ本その2：いちばんやさしい医療統計

私が書いた本で恐縮ですが、次はこの本です。

上記の本以外に「本当に初心者向けの医療統計の本ってないなぁ。。書いてしまえ！」ということで書いた本です。

この本は、移動中の電車や飛行機で2時間程度で医療統計をわかってもらおう、という想いで作った本です。

だから全然気負わずに、小説を読む、ぐらいの気持ちで読んでいただけるといいです。

数式をできるだけ排除しましたので。

で、重要なのが「繰り返し読む」ということ。

私が上記の本を10回は読んだように、ぜひ何回も読んでください。

スルメのように、味が出てくるはずです。

医療統計のおすすめ本その3：統計検定2級の問題集

「どうしても数式を飛ばして勉強することができない」という方のためには、この本です。

統計検定2級の問題集。

統計の専門家でなければ、統計検定２級相当の知識があれば十分です。

そのため、この公式問題集がなんなく解けるようになればいいですね。

解説が少ないのが若干の難点ですが、そこは他の書籍の解説を確認すれば十分解くことが可能です。

もしどうしてもわからなければ、メルマガ登録をして私に質問してみてください。

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医療統計を実践する統計ソフトをマスターするのに本当におすすめできる本

医療統計は知識があっても実際に解析できなければ意味はありませんよね。

なので、実践するにあたって統計ソフトの参考となる本が必要になります。

ここでは、私も使っている統計ソフトの参考となる本をご紹介します！

統計ソフトEZRをマスターするのにオススメの本

統計ソフトEZRは無料で使えることが最大のメリット。

「無料だから論文や学会発表には使えないんじゃないの・・・？」と思われるかもしれないですが、実は5,000回以上の英文論文に使われている統計ソフト。（2021年4月現在）

下記はEZRを作成した神田先生のHPからの情報です。

なので、全く問題なく論文や学会発表にも使える統計ソフトです。

そんなEZRを使いこなすためにお勧めできる本がこれ。

「EZRでやさしく学ぶ統計学」です。

EZR開発者の神田先生が書かれた本。

ぜひこれを参考にしてEZRを使いこなせるようになりましょう！

統計ソフトSPSSをマスターするのにオススメの本

統計ソフトSPSSは統計ソフトの中で最も認知度が高いソフトではないでしょうか。

医療統計だけではなく、心理系や経済系の分野などにも幅広く使われている印象のある統計ソフトです。

そんなSPSSを使うのにおすすめとなる本はこちら。

「SPSSで学ぶ医療系データ解析」です。

SPSSを医療系のデータ解析に特化させて解説している本。

とてもわかりやすいので、ぜひ手に取ってみてください！

医療統計の勉強に役立つブログやサイトは？

次に、医療統計の勉強に役立つブログやサイトを紹介していきます。

ここは一つだけ紹介。

医療統計が勉強できるブログやサイト：Try itのYoutube動画

それは、Try itの数学IのYoutube動画です。

例えば最初の授業のURLを紹介しますね。

無料だからといって侮ることなかれ。

本当に結構わかりやすいです。

高校生向けの授業なので、ハードルもそれほど高くない。

統計をまずは学んでみたい、という方にとっては本当にお勧めできる動画です。

医療統計に特化していないのは難点ですが、それを差し引いてもわかりやすいです。

さすが、家庭教師のノウハウがあるTryさんですね。

医療統計を勉強する本でのおすすめは？まとめ

ということで、今回の記事では医療統計を勉強する上で本当におすすめできるものを紹介しました。

ぜひどれか一つでも学んでみてくださいね。

もし私のところで学びたいのであれば、ぜひメルマガ登録をしてみてくださいね。

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