今日は、ウィルコクソンの順位和検定について！

ウィルコクソンの順位和検定はノンパラメトリックな検定では一番目にするのではないかと思います。

• でも、ノンパラメトリックってそもそも何だろう？
• ウィルコクソンの順位和検定はマンホイットニーのU検定と何が違うの？
• ウィルコクソンの順位和検定はT検定と何が違うの？
• ウィルコクソンの順位和検定は何で検定の名前に順位ってついてるの？

そんな素朴な疑問を、詳細に解説しています！！

ウィルコクソンの順位和検定とは？T検定との違いは？

あなたは連続量データを検定したことがありますか？

もしYesであれば、ウィルコクソンの順位和検定を聞いたことがあるかもしれません。

そう、このウィルコクソンの順位和検定は連続量データを検定する手法です。

じゃあ、連続量データの検定って、他に何がありましたか？

そう、T検定です。

連続量データの検定でT検定は必ず理解しておく必要がありますので、理解しておいてくださいね。

ウィルコクソンの順位和検定とT検定との違い

ではウィルコクソンの順位和検定は、T検定と何が違うのか。

結論から言うと、「パラメトリックとノンパラメトリックの違い」です。

T検定はパラメトリックですね。

ということは、ウィルコクソンの順位和検定はノンパラメトリックです。

パラメトリックとノンパラメトリックの違い、ぜひ理解しておきましょう。

ですが、ちょっとだけ復習しましょう。

パラメトリック検定とは？なぜウィルコクソンの順位和検定はパラメトリックじゃない？

パラメトリックとは、何かの分布を仮定して検定を実施します。

T検定だと、データが正規分布であることを仮定していますね。

これはどういうことかというと、そのデータがちゃんと正規分布になるデータであれば、有意差を検出しやすいです。

逆に言えば、正規分布でなければ、有意差が出にくい検定です。

一長一短あるんです。

ノンパラメトリックとは？ウィルコクソンの順位和検定はノンパラメトリック検定

では、ノンパラメトリックは。

その名の通り、パラメトリックじゃない、という意味です。

つまり、分布を何も仮定していない検定ということですね。

これも一長一短あります。

データが正規分布の時には、T検定ほど有意になりにくいです。

ですが、正規分布以外の時には、T検定よりもはるかに有意になりやすい。

パラメトリックとノンパラメトリックは、表と裏のような関係です。

有意になりやすさを表にしてみるとこんな感じです。

注目したいのは、ウィルコクソンの順位和検定のオールマイティな性質です。

データが正規分布であっても、正規分布でなくとも、有意になりやすさが一定です。

一方、T検定は正規分布ではない場合に、有意になりにくいという性質があります。

じゃあ、常にノンパラメトリックな検定をすればいいのでは？と思ったかもしれません。

つまり、正規分布ではない場合のリスクを考えて、常にノンパラメトリックな検定をすればいいではないかということです。

正解です！！！

常にノンパラメトリックな検定をすることで、多くの場合で「不正解ではない」ことが多いです。

（ただし、研究目的に対して答えを出すような、プライマリーエンドポイントに対する検定では、ちゃんと精査して決めることは重要です。）

ではなぜT検定をはじめとする、パラメトリックな検定が広く行われているのでしょうか。

それは、計画段階で分布を仮定してサンプル数を決める場合が多いからかなと思います。これは完全に私見ですが。

ウィルコクソンの順位和検定の帰無仮説は？

さて、話はウィルコクソンの順位和検定に戻します。検定というからには、ウィルコクソンの順位和検定にも帰無仮説と対立仮説があります。

後述しますが、ウィルコクソンの順位和検定は「データを順位」に変換しているため、値そのものでなく「分布全体の位置関係」を見ていることになります。

ウィルコクソンの順位和検定はなぜ“順位”なのか？

ウィルコクソンの順位和検定。

なぜ“順位”なのでしょうか。

あなたはわかりますか？

答えは、データを順位に落とし込んでいるからです。

言葉でいってもわかりにくいので、例を出してみます。

以下のような2群の体重データがあったとします。１群5例のデータです。

この10個のデータを、群を無視して小さい順に並べると、このようになります。

すると、先ほどの体重のデータは、順位データにするとこのようになります。

解析に用いるのは、この順位に直したデータです。

順位データを解析に用いるために「順位和検定」と呼ばれています。

この“データを順位に直す”ことによって、外れ値に左右されないことがみてとれます。

中央値を算出するときに、データを小さいほうから順に並べるという処理がありました。

発想はそれと同様です。

たとえば、A群の71kgのデータをみてみましょう。

このデータが仮に150kgであったとしたら、順位は変わらずに10位ですね。

そのため、順位和検定の結果にはまったく影響を与えません。

しかし、71kgと150kgとでは平均値が異なるため、T検定の結果には影響を与えます。

このことからも、ノンパラメトリクな検定が、どのような分布でもオールマイティな性質があるということがわかりますね。

名前は違えどウィルコクソンの順位和検定と同じ検定：マンホイットニーのU検定

ウィルコクソンの順位和検定ですが、実は他の1つの検定と実質同じことをしています。

その検定とは、マンホイットニーのU検定です。

名前は違いますが、やっていることは実質的に同じです。

そのため、どちらの検定であっても、この章で解説している手順と同様であると認識して大丈夫です。

ウィルコクソンの順位和検定に関するまとめ

1）ウィルコクソンの順位和検定は、連続データを検定するノンパラメトリクな検定である。

2）データを順位に直してから検定をするため、順位和検定と呼ばれている

3）マンホイットニーのU検定も、実質的に同じ検定手法である。

動画でもウィルコクソンの順位和検定に関して解説していますので、併せてご確認くださいませ。

＞＞EZRでマンホイットニーのU検定を実施する方法

＞＞SPSSでマンホイットニーのU検定を実施する方法

＞＞JMPでマンホイットニーのU検定を実施する方法

T検定は、 2群間比較の「平均が等しいか」を調べるときに用いる検定です。

この記事では統計解析ソフトJMPを用いてT検定を行う方法を、わかりやすく説明していきます。

また、JMPで出力されるT検定の結果の解釈についても説明していきます。

JMPでT検定！そもそもT検定とは？

T検定は正規分布に従う2つのグループ（母集団）の平均が等しいかどうかを調べる検定です。

T検定には

• 二つの母集団が等分散を仮定する: Studentのt検定
• 二つの母集団が等分散を仮定しない: Welchのt検定

の二種類があります。

詳しくは、以下の記事で説明していますのでご覧ください。

>>>T検定とは？帰無仮説と対立仮説を必ず確認！F検定で等分散の確認が必要？

もし比較したいグループが3つ以上ある場合は、多重性の問題が出てきますよね。

>>多重性とは？その意味と統計検定のp値を解釈する上で重要なこと

の記事も参考にしてください。

それでは、早速、統計解析ソフトJMPを用いてT検定を行っていきましょう。

JMPでT検定を行う方法をわかりやすく解説！

この記事ではJMP公式サイトを参考に、JMPでのT検定の方法を見ていきます。

ちなみにJMPにはT検定を行うというボタンは存在しないです。

JMPでは二変量の関係に関して一元配置分析の中にT検定が含まれています。

>>>分散分析とは？分散分析表の見方やf値とp値の意味もわかりやすく！

T検定を実施するデータを読み込む

自分たちのデータを解析する場合は、

[ファイル] > [開く]から解析したデータを開いてください。

ExcelやCSV形式のデータを開くことができます。

この記事では、JMPにすでに用意されているサンプルデータを使います。

[ヘルプ] > [サンプルライブラリー]をクリックします。

すると、次のサンプルデータのディレクトリのウィンドウが出てきます。

今回はこの中の”Big Class.jmp”を使います。

この”Big Class.jmp”をダブルクリックすると、以下のウィンドウが出現します。

この”Big Class.jmp”は

身体測定の結果、「年齢」と「性別」、「身長（インチ）」、「体重(ポンド)」のデータ

がまとめられたデータです。

ここでは、”Big Class.jmp”のデータを用いて、「年齢」と「体重(ポンド)」の関係を見ていきます。

JMPでT検定を実施するには「一元配置分析」を選ぶ

それでは、実際に解析を行なっていきます。

[分析] > [二変量の関係]をクリックします。

すると次のウィンドウが出現します。

[Y, 目的変数]に「体重（ポンド）」を選択します。

[X, 説明変数]に「年齢」を選択します。

選択が終われば[OK]をクリックします。

すると、次のウィンドウが出現します。

これは「体重（ポンド）」と「年齢」の関係を表したグラフです。

縦軸は「体重（ポンド）」、横軸は「年齢」を表しています。

ちなみに、JMPではこのようなグラフを出力するときに、横軸の幅が揃っていません。

このグラフだと、14歳のところが広くて、17歳のところが狭いです。

この広さのはサンプルサイズの多さと関係しています。

それではT検定を行っていきましょう。

JMPでのT検定: Studentのt検定とWelchのt検定？

T検定には

• 二つの母集団が等分散を仮定する: Studentのt検定
• 二つの母集団が等分散を仮定しない: Welchのt検定

の二種類があります。

>>>T検定とは？帰無仮説と対立仮説を必ず確認！F検定で等分散の確認が必要？

ここでは、Studentのt検定を用います。

先ほど見たウィンドウの左上の▼クリックします。

次に、[平均の比較] > [各ペア, Studentのt検定]をクリックします。

するとT検定の結果が出力されます。

今回のT検定は次にような条件で行われました。

今回のT検定ではp値がAlpha値より小さいさいときに有意に差があるとしています。

右のAlpha値0.05が、その水準値（有意水準）です。

つまり、p値が0.05よりも小さいとき、有意差があるということです。

ここで棄却限界値という難しい言葉が出ていますが、これはT検定の考え方に由来します。

詳しくは、

>>>帰無仮説とは？対立仮説との違いを例題で簡単に。検定で棄却できないときは？

をご覧ください。

JMPでT検定を実施した結果の見方

T検定の結果は一番下の「差の順位レポート」に記載されています。

この表の見方ですが、一番上から順に平均差が大きかった順に並んでいます。

一番上は、今回は年齢ごとのグループなので、”17歳と13歳の体重の差のT検定の結果”を表しています。

表の一番右はp値が書かれています。

p値が、0.05より小さいものは優位に差があるとして、”*”がつけられ、色が付いています。

ただ、これだけ沢山のt検定を行っているので、多重性の問題も起こっています。

>>多重性とは？その意味と統計検定のp値を解釈する上で重要なこと

の記事も参考にしてください。

JMPでT検定まとめ

• JMPにはT検定を行うというボタンは存在しない
• JMPでは一元配置分析（分散分析）を行なった後、T検定を行う

動画でもJMPでT検定を実施する方法を解説していますので、併せて確認していただけると理解が深まるかと思います

統計の世界では最も有名な検定であると言っても過言ではない、T検定。

このページでは、T検定について具体例を用いてわかりやすく解説します。

検定は、帰無仮説と対立仮説を確認することがすごく重要なので、帰無仮説と対立仮説をどう確認するか、というポイントも解説。

そのほかにも、この記事を見ればこれらのことがスッキリしますよ！

• T検定の前にはF検定をする？
• 等分散の過程が必要？
• １標本と２標本？
• 自由度ってどう求めるの？

T検定とは何？具体例でわかりやすく解説！

「世の中にはいろんな検定があるけど、それぞれがどんな検定なのかが分かりません・・・。」

私のところに、そのような質問が多々寄せられます。

確かに統計の検定は数が多くて、結局何をやっているのかが分かりにくかったりします。

そんな時のアドバイス。

どんな検定をしているかを手っ取り早く、そして正確に把握するにはあるものを見ればいいんです。

それは、「帰無仮説と対立仮説」です。

帰無仮説と対立仮説って難しそうな用語ですが、それほど難しいものではありません。

帰無仮説と対立仮説は、「何を検定しているのかを直接文章として記載しているもの」です。

そのため、その検定が何をやっているか、帰無仮説と対立仮説を確認することで一目瞭然なのです。

ということで、本サイトの検定に関する記事では、必ず帰無仮説と対立仮説を載せるようにしますね。

T検定の帰無仮説と対立仮説

では早速、T検定の帰無仮説と対立仮説は何かを見てみましょう。（2標本のT検定の場合）

この帰無仮説と対立仮説を確認して、何がわかりますか？

T検定は平均値に対する検定であることが分かりますよね。

T検定は有名なので、仮説を見なくても「平均値に対する検定だ」とわかるかもしれません。

ですが、これから勉強をするにつれ、初めてその名前を聞く検定が、今後出てくると思います。

その時には、帰無仮説と対立仮説を確認するようにしましょう。

超有名な分散分析でさえ、その帰無仮説と対立仮説をちゃんと確認しないことには、結果を正しく解釈することができません。

T検定を実施する具体例

T検定は平均値を検定する統計的手法だということがわかりました。

であれば、具体的にどんな時にT検定を実施できるでしょうか？

平均値を使うということは、データが「連続量（量的データ）であること」と「正規分布にしたがっていること」の2点が重要です。

そのため、以下のような場合にはT検定が使えますね。

• 新薬群とプラセボ群の患者さんの身長の違いを知りたい
• A大学とB大学の学生の体重の違いを知りたい

T検定にはたくさん種類がある？1標本や2標本、対応ありや対応なしとは？

T検定と検索すると、1標本のT検定とか2標本のT検定とか、2種類出てきますよね。

それらの違いって何？って疑問に思ったことないでしょうか。

私も統計を勉強し始めた頃、全然イメージができませんでした。

でも実は、それほど難しい概念ではないです。

一言でいうと、データが1種類か2種類かの違いです。

例えば。

1. ある時点の、A群だけの身長データ。
   • これは１標本。
2. ある時点の、A群とB群の身長データ
   • これは２標本。
3. ある時点（時点１）の、A群だけのデータと、その１年後（時点２）の、A群だけの身長データ
   • これも２標本。ですが、対応のある２標本と言われています。

で、この1標本と2標本で、T検定のやり方は何か違いがあるの？と思いますよね。

実は、ほぼ一緒です！

なぜかを考えるのに、それぞれの帰無仮説を確認してみましょう。

1. A群の身長の母平均＝０（定数）
2. A群の身長の母平均＝B群の身長の母平均
3. A群の時点１の母平均＝A群の時点２の母平均

で、2と3については、右辺を左辺に持っていく。

すると、結局こうなります。

1. A群の身長の母平均＝０（定数）
2. A群の身長の母平均- B群の身長の母平均＝０
3. A群の時点1の母平均- A群の時点2の母平均＝0

引き算があるかどうかの違いだけで、３つともほぼ一緒じゃないですか？

なので、1標本とか2標本とかによって何かしら新しく考えることがあるわけではなく、結局は同じことを検定しています。

＞＞対応のあるデータ・対応のないデータとは？

T検定をするには事前にF検定を実施して等分散性の確認が必要？

T検定を調べていくと、もう一つ条件が出てきます

それは、等分散性。

等分散性とは文字通り、A群とB群のデータの分散が同じである性質、ということ。

これがあるために一昔前は、以下のフローでT検定を実施されることが多くありました。

Twitterでも悩んでいる方がいましたね。

(研究の話)　結局F検定やって等分散か調べた後にt検定の種類選ぶのがよいのか最初からウェルチやった方がよいのか

— サカユリヤはミジンコストラップ作る人 (@sakayuriya) December 30, 2018

つまり、このような方法をやる必要があるか？

ということです。

F検定（等分散性の検定）を実施
↓
もし有意になれば、等分散ではないとして、WelchのT検定（等分散性の条件がいらないT検定）を実施する。
↓
もし有意でなければ、等分散として、StudentのT検定（等分散性の条件が必要なT検定）を実施する。

私も大学院時代にマイクロアレイ解析をしていた時は、この方法を使っていました。

ですが、今ではこのような方法はほとんど見られません。

理由は大きく2つ。

ということで、WelchのT検定さえ使っておけば、誰も文句言わないです。

等分散を仮定するスチューデントのT検定の方がなぜか有名なので、スチューデントのT検定を実施することが多いかもしれませんが、スチューデントのT検定は「正規性」＋「等分散」の2つの仮定が必要。

それよりも、「正規性」の一つの仮定さえあれば使えるWelchの方がオールマイティーです。

また、分散が実際に等しい場合には検出力がいくらか失われますが、そうでない場合には検出力が増加するという研究結果がありますので、Welchのt検定を実施することをお勧めします。

T検定における自由度の考え方とは？

T検定を実施するのに必要なもう一つの知識。

それが自由度です。

自由度に対する考え方については、別ページで解説しているのでそちらを参照してください。

なのでここでは、T検定に特化した自由度の考え方だけお伝えします。

結論から言うと、T検定の自由度は「データの数ー群の数」です。

例えば、２群のデータで、各群１０個のデータ。

計２０個のデータがあったとします。

この時の自由度は、２０−２＝１８となります。

RでT検定を実践する！

では実際に、サンプルデータを用いて等分散かどうかの判断と、統計学的検定を実施します。

Rをダウンロードした際に含まれている「iris」というデータを使います。

具体的には、以下の3つを実施します。

1. 2種類のアヤメ（setosa, versicolor）ごとにがくの長さ（Sepal.Length）のヒストグラムを作成
2. 2種類のアヤメ（setosa, versicolor）ごとにがくの長さ（Sepal.Length）の要約統計量を算出
3. 上記2つの結果をもとにしてがくの長さ（Sepal.Length）の統計学的検定を実施する

2種類のアヤメ（setosa, versicolor）ごとにがくの長さ（Sepal.Length）のヒストグラムを作成

まずはヒストグラムを作成します。Rでは下記のようにプログラムを実行することによってヒストグラムを作成できます。

#1度だけ実施する。過去にインストールしたことがあれば実行しなくてOK
install.packages("ggplot2") 

#ggplot2を呼び出す
library(ggplot2)

# データの読み込み
data("iris")

# SetosaとVersicolorのデータ抽出
setosa <- subset(iris, Species == "setosa")
versicolor <- subset(iris, Species == "versicolor")

# SetosaとVersicolorのデータを一つにまとめる
iris_new <- rbind(setosa,versicolor)

# データの確認
head(iris_new)

# ヒストグラムを作成
ggplot(iris_new, aes(x = Sepal.Length, fill = Species)) + 
  geom_histogram(position = "identity", alpha = 0.8) + 
  theme_minimal() + 
  labs(title = "Histgram of Sepal.Length", x = "Sepal.Length", y = "Frequency")

上記のプログラムを実行すると、下記のようにヒストグラムが作成されます。

setosaよりもversicolorの方がばらつきは大きいように見えます。

また、どちらの種類も、真ん中が一番盛り上がっており、左右に少なくなっているため、正規分布とみなしてもいいのではないかと思われます。

2種類のアヤメ（setosa, versicolor）ごとにがくの長さ（Sepal.Length）の要約統計量を算出

要約統計量を算出します。Rでは下記のようにプログラムを実行することによって要約統計量を算出できます。

#1度だけ実施する。過去にインストールしたことがあれば実行しなくてOK
install.packages("dplyr")

# dplyr パッケージを読み込む
library(dplyr)

# データの読み込み
data("iris")

# データの確認
head(iris)

# SetosaとVersicolorのデータ抽出
setosa <- subset(iris, Species == "setosa")
versicolor <- subset(iris, Species == "versicolor")


# 種類ごとにがくの長さ（Sepal.Length）の要約統計量を計算
summary_stats_setosa <- setosa %>%
  summarise(
    n = n(),
    mean = mean(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    sd = sd(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    var = sd^2,
    median = median(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    min = min(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    max = max(Sepal.Length, na.rm = TRUE)
  )

summary_stats_versicolor <- versicolor %>%
  summarise(
    n = n(),
    mean = mean(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    sd = sd(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    var = sd^2,
    median = median(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    min = min(Sepal.Length, na.rm = TRUE),
    max = max(Sepal.Length, na.rm = TRUE)
  )


# 計算結果の表示
print(summary_stats_setosa)
print(summary_stats_versicolor)

上記のプログラムを実行すると、下記のような結果になりました。

分散（Var）をみると、Setosaは0.124でありVesicolorは0.266でした。

また、平均値と中央値がほぼ同じ値であることがわかります。

ヒストグラムと要約統計量を確認すると、分散が同じではなさそう、正規分布とみなしても良さそう、と結論づけることができます。

上記2つの結果をもとにしてがくの長さ（Sepal.Length）の統計学的検定を実施する

ヒストグラムと要約統計量を確認すると、分散が同じではなさそう、正規分布とみなしても良さそう、と結論づけたため、Welchのt検定を実施します。

# welchのt検定と結果の表示
t_test_result_unpaired <- t.test(setosa$Sepal.Length, versicolor$Sepal.Length)
print(t_test_result_unpaired)

すると、下記のような結果が出力されました。

	Welch Two Sample t-test

data:  setosa$Sepal.Length and versicolor$Sepal.Length
t = -10.521, df = 86.538, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1.1057074 -0.7542926
sample estimates:
mean of x mean of y 
    5.006     5.936

各群（Setosa群とVersicolor群）の平均、そして平均値の差の95%信頼区間（-1.11〜-0.75）が出力され、p<0.001であることがわかります。e-16は「10のマイナス16乗」の意味で、p値がかなり小さいことを示しています。

T検定に関するまとめ

• その検定が何をやっているかは、帰無仮説と対立仮説を見ればわかる。
• T検定は、平均値の違いを検定する方法。
• 1標本とか2標本とかあるけど、本質は一緒。
• WelchのT検定さえ使っておけば、間違いはない。

また、動画でもT検定に関して解説していますので、合わせてご確認いただけると理解が進むはずです。