EZR でポアソン回帰分析を行う方法

ポアソン回帰を EZR で行う方法の解説

ポアソン回帰・ポアソン分布とは

ポアソン回帰とは、まれにしか起こらない現象を数えたカウントデータを目的変数にした回帰分析のこと

カウントデータがポアソン分布に従うと仮定している

平均 $ \lambda $ 回起こる事象が、$ X $ 回起こる確率分布がポアソン分布である

そのときに、ある事象が $ k $ 回起こる確率 $ P(X = k) $ は以下のように書ける

$$ \displaystyle P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$

例えば、$ \lambda = 3 $, $ k = 0, 1, 2, \cdots, 10 $ のときのグラフは以下のようになる

上記グラフの R スクリプトは以下のとおり

### Graph of Poisson Distribution
lambda <- 3
k <- 0:10
P <- exp(-lambda)*lambda^k / factorial(k)
plot(k, P, type='h')
library(ggplot2)
ggplot(data=data.frame(k,P), aes(x=k, y=P))+
geom_point(size=3)

サンプルデータの読み込み

以下のサイトから、data3a.csv をダウンロードする

生態学データ解析 – 本/データ解析のための統計モデリング入門

CSV を読み込むメニューを使って、読み込み

data3a というデータセット名にして、読み込む

カウントデータのアウトカム y と、連続データの x、カテゴリカルデータの f の 3 つのデータ含まれることがわかる

f が、chr（文字型）で認識されているので、因子型に変更しておく

すべての文字変数を因子に変換 メニューを使って、変換する

Factor という表記に変わった

カテゴリカルデータは、この因子型でないと、統計解析に使えないので注意

データの図示

グラフと表の散布図メニューを使って、f の群別の散布図を書いてみる

今回は、線形回帰分析ではないので、回帰直線に目を奪われないために、最小 2 乗直線（回帰直線）のオプションは外しておくほうがよい

散布図は以下のとおりだ

ポアソン回帰のあてはめ（連続データ）

このデータにポアソン回帰をあてはめてみる

まずは、x で y を予測（説明）できるかという計算

標準メニュー → 統計量 → モデルへの適合 → 一般化線型モデル を選択

目的変数に y、説明変数に x、リンク関数族は、poisson（ポアソン）をダブルクリックして選択、リンク関数は自動で log が選ばれた状態になるのでそのまま

このように設定する

OK をクリックすると計算される

x が 1 上昇するごとに、対数カウントが、0.07566 上昇するという計算結果で、統計学的有意（検定の名前は Wald 検定）

対数カウント上昇を真数カウントに直すと、x が 1 上昇するごとに約 1.08 倍のべき乗（$ e^{1.08 x} $）になるという計算になる

ポアソン回帰のあてはめ（カテゴリカルデータ）

変数 f （カテゴリカルデータ）を説明変数にするとどうなるか

メニュー内の設定は以下のとおり

説明変数の部分だけ、x から f に変えた

結果は、以下のとおり

f の C と比較して、T の係数推定値 0.01277 が計算されている

統計学的有意ではない

ポアソン回帰のあてはめ（連続データ＋カテゴリカルデータ）

では、変数 x と f をともに説明変数としたらどうだろうか

f の C と T の差を見たいときに、x が交絡因子で、調整しないといけないという状況と考えて計算してみる

ちなみに、C と T では、x の値が異なっており、交絡因子

• y の予後因子、かつ、
• f と関連あり、かつ、
• f と y の中間因子ではない

とみなせる変数である

説明変数の設定は以下のとおり、x と f を + でつなぐ

結果は以下のとおり

やはり T は統計学的有意ではなかった

なので、C と T の群間差は、明確ではなかったと言える

最初のほうで書いたグラフでも、C と T の差は明瞭ではなかったので、図の印象と符合している

まとめ

ポアソン回帰・ポアソン分布について簡単に解説して、EZR での解析方法を解説した

参考になれば

参考サイト

13-3. ポアソン分布 | 統計学の時間 | 統計WEB

参考書籍

データ解析のための統計モデリング入門