R で クロッパーピアソンの割合の信頼区間を計算する方法

正規分布近似を用いた信頼区間とClopper-Pearson 信頼区間を計算する方法。

割合の区間推定（正規分布近似を用いた簡易的な方法）

割合の分散は、割合をp、サンプルサイズをnとすると、

$$ \frac{p (1 – p)}{n} $$

で計算できる。

標準誤差はその平方根で、

$$ \sqrt{\frac{p (1 – p)}{n}} $$

で計算できる。

割合の区間推定は、以下のように計算できる。

$$ p \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p (1 – p)}{n}} $$

95%信頼区間を計算するスクリプトにすると以下のようになる。

conf.int <- function (p, n, sig.level=0.05){
  res <- c(-1, 1)*qnorm(sig.level/2, lower.tail=F)*sqrt((p*(1-p)/n))+p
  print(round(c(p=p, conf.int=res),3))
}

サンプルサイズ100で、0.95の95%信頼区間を計算すると、0.907から0.993と計算される。

> conf.int(p=0.95,n=100)
        p conf.int1 conf.int2 
    0.950     0.907     0.993 

Clopper-Pearson信頼区間（正確な方法）

Clopper-Pearson法は、F分布を使った方法で、より正確な方法である。

統計ソフトRのスクリプトは以下のようになる。

clopper.pearson <- function (x, n, sig.level=0.05){
  LL <- x/(x+(n-x+1)*qf(sig.level/2, lower.tail=F, 2*(n-x+1), 2*x))
  UL <- (x+1)*qf(sig.level/2, lower.tail=F, 2*(x+1),2*(n-x))/((n-x)+(x+1)*qf(sig.level/2, lower.tail=F, 2*(x+1),2*(n-x)))
  print(round(c(p=x/n, "lower limit"=LL, "upper limit"=UL),3))
}

0.95の95%信頼区間は、0.887から0.984と計算された。

> clopper.pearson(x=95,n=100)
          p lower limit upper limit 
      0.950       0.887       0.984 

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まとめ

割合の信頼区間を求める方法として、正規近似を用いた簡易的な方法と正確方法Clopper-Pearson法を比較してみた。

使い分けは考えずに、いつも正確な方法が良いと思う。

参考になれば。

参考サイト

統計WEB

1-2. 検査精度の信頼区間 - 統計WEB 2×2のクロス集計表から得られた値に対する信頼区間の求め方は、「母比率の信頼区間の求め方」で学んだ方法と同じです。母比率pの95％信頼区間は次の式から求められます。 ...

参考文献

THE USE OF CONFIDENCE OR FIDUCIAL LIMITS ILLUSTRATED IN THE CASE OF THE BINOMIAL

Approximate is Better than “Exact” for Interval Estimation of Binomial Proportions

Clopper–Pearson interval