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統計学的検定における、多重性の問題とは?

ボンフェローニ法とは?統計検定で多重比較を補正する方法の計算式

統計学的検定では、様々な場面で多重性の問題が発生します。

臨床試験の場合にも例に漏れず、多重性の問題は統計担当者が一番頭を悩ませる問題です。

多重比較をすると問題なのが、全体的なαエラーが増大するということ。

 

αエラーの増大を防ぐために、対処する方法は3つあります。

このページでは、その対処法の中で3つ目の「有意水準を補正する」方法を紹介します。

最も有名なのがボンフェローニ(Bonferroni)法と呼ばれる方法です。

 

 

統計検定で多重比較の際に有意水準を補正する方法

検定の多重性を回避する方法として、有意水準を補正する方法がありました。

どんな場面で有意水準を補正するか。

 

検定を一つにも絞れず、かつ検定の優先順位(順番)もつけることができない場合

 

そんな場面であれば、有意水準を調整する方法にします。

つまり、最終手段の方法ですね。

 

ではなぜ、検定を1つに絞ったり、優先順位をつけたりする方法を優先して使ったほうがいいのか。

その理由は、明確なメリットがあるからです。

検定を1つに絞ったり、優先順位をつけたりする方法のメリット。

 

有意水準を5%にしたまま検定できる

 

だから、最初は検定を1つに絞ったり、優先順位をつけたりする方法を検討したほうがいいのです。

 

では、どうしようもなく検定を複数回実施しなければならない場合。

有意水準を補正します。

そして有意水準を調整する方法がいくつか開発されています。

具体的にはボンフェローニ(Bonferroni)法、ホルム(Holm)法、ダネット(Dunnett)法などです。

今回の記事では、直感的かつ数学的にもイメージしやすいボンフェローニ法を紹介します。

 

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ボンフェローニ法とは?どんな計算式で有意水準を補正するのか

ボンフェローニ法の有意水準の調整方法は簡単です。

通常の有意水準をα(普通は0.05)、実施する検定の数をNとする場合に、一つ一つの検定の有意水準をα/Nにするという方法です。

 

例えば、有意水準が0.05で、検定を2回実施したい時。

それぞれの検定の有意水準を0.05/2=0.025に調整するのです。

そして検定の結果、P値が0.025を下回れば、有意になります。

決して、0.05を下回ったからといって、有意にはならないので注意してください!

重要なのでもう一度書きます。

 

検定を2回実施した場合、Bonferroni法で有意水準を調整して検定したら、P値が0.025を下回って初めて有意になる

 

では、検定が5つの場合は。

一つ一つの検定の有意水準を0.05/5=0.01にして、P値が0.01を下回る場合に有意という結論を得ます。

 

つまり、このようになりますね。

この方法はとても直観的であり、かつ簡単に実施しやすい方法ではあります。

ですが、他の有意水準の調整方法よりも一番厳しい、つまり一番有意になりにくい方法であるといえます。

 

 

なぜ有意水準を補正するとαエラーが増大しないのか?

ボンフェローニ法で有意水準を補正する計算式はわかりました。

αエラーを検定の回数で割るだけなので、特に難しくありませんでしたね。

では、なぜそのような有意水準の補正をするだけで、αエラーの増大が防げるのか?ということです。

 

以下の図のように、1回だけ検定をした場合、αエラーは全体(100%)の中で5%を占めます。

 

では、2回検定をした場合にはどうなるでしょうか。

その場合にαエラーは以下のようになります。

 

 

1回目のαエラーと2回目のαエラーがあり、その一部が重なっているような図です。

このとき、2回検定をして1回でもαエラーが生じる確率は、2つの円の総面積になります。

つまり、このときのαエラー「0.05+0.05-0.05*0.05=0.0975」となってしまうのです。

0.0975は有意水準で設定した0.05より大きいため、問題となります。

 

しかし、ボンフェローニ法で有意水準を補正してあげると、1つ1つのアルファエラーが0.025になるため、以下のような図になります。

 

そのため、2回検定をして1回でもαエラーが生じる確率は、2つの円の総面積の0.049375となります。

そうすると、有意水準である0.05よりも小さいαエラーで2回の検定をすることができることになります。

 

 

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ボンフェローニ法の問題点

計算が簡単で、直感的に理解しやすいボンフェローニ法。

しかし、この方法には問題点があります。

 

それは検出力が低くなってしまうこと。

検出力が低いということは、本来であれば有意差が出るはずのデータなのに有意差が付きにくい、ということです。

統計的な用語を使うと「保守的な」検定方法です。

 

なぜならば、本当は有意水準を0.05として設定していいですが、前述の通り2回検定した場合に0.049375のαエラーになります。

0.05-0.04375=0.00625だけ、有意差が付きにくくなっている、ということ。

ほんのちょっとの違いのように思いますが、この数字の差はかなり大きいのです。

 

この保守的な側面を解決するために、ホルム(Holm)法やダネット(Dunnett)法が開発されました。

 

まとめ

多重性の対処法の中で、有意水準を調整する方法は、最後に選択する最終手段。

Bonferroni法は直感的で、簡単に実施しやすい調整方法。

しかし、他の調整法と比べて有意になりにくい、保守的な方法とも言える。

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