この記事では「JMPでカイ二乗検定とフィッシャーの正確確率検定を実施！クロス集計表の検定」としてお伝えします。

「カイ二乗分布」と、「フィッシャーの正確確率検定」は分割表（クロス集計表）の検定などで大活躍する検定方法です。

この記事では、統計解析ソフトJMPを用いてクロス集計表の検定である、カイ二乗検定とフィッシャーの正確確率検定の方法について解説していきます。

クロス集計表の検定では「カイ二乗分布」と「フィッシャーの正確確率検定」はどちらを使う?

クロス集計表の検定として、「カイ二乗分布」と「フィッシャーの正確確率検定」はどちらも同じ目的で利用されますが、検定のため計算方法が異なります。

そのため、検定結果も少し異なってきます。

一般的には、p値の算出が単純である「カイ二乗分布」を用いたらいいです。

>>>カイ二乗検定とは？計算式まで簡単に分かりやすく！分割表の検定

「フィッシャーの正確確率検定」は近似を用いません。

標本サイズが小さい場合や、度数が0のセルがある場合などに適しています。

詳しくは

>>>フィッシャーの正確確率検定とは？カイ二乗検定と何が違う？分割表の検定

>>相対度数とは？度数分布表からの求め方をわかりやすく！パーセント表示がいい？

で解説しています。

JMPでカイ二乗検定を実施する！

では、JMPでカイ二乗検定の使い方を見ていきましょう！！

カイ二乗検定はクロス集計表に対する独立性の検定

クロス集計表に対してカイ二乗検定は主に独立性の検定に用います。

独立性の検定は、二つの変数に関連が言えるのか否かを判断するためのものです。

この独立性の検定は分割表を用いるときによく用います!

>>>カイ二乗検定とは？計算式まで簡単に分かりやすく！分割表の検定

カイ二乗検定するためのJMPへのデータの読み込み

自分たちのデータを解析する場合は、

[ファイル] > [開く]から解析したデータを開いてください。

ExcelやCSV形式のデータを開くことができます。

この記事では、JMPにすでに用意されているサンプルデータを使います。

[ヘルプ] > [サンプルライブラリー]をクリックします。

すると、次のサンプルデータのディレクトリのウィンドウが出てきます。

今回はこの中の” Consumer Preference.jmp”を使います。

このデータには、一般的な事柄に対する意見や態度についてがまとめられらものです。

ここでは、 年齢層によって「仕事熱心である」かどうかの分布が異なるかどうかを調べて見ましょう。

JMPでのカイ二乗検定

まず、上のメニューバーから[分析] > [二変量の関係]をクリックします。

すると次のウィンドウが出現します。

[Y,目的変数]に「仕事熱心である」を選択します。

次に、[X, 説明変数]に「年齢層」を選択します。

選択ができたら、[OK]をクリックします。

すると、次のようにモザイク図と分割表を含む結果が表示されます。

「分割表」がいわゆるクロス集計表ですね。

検定結果だけをみずに、モザイク図やクロス集計表の結果を把握しておくことはとても重要です。

そして、この結果の1番下を見ると、カイ二乗検定の結果が出てきています。

この検定結果を見ると、「尤度比」と「Pearson（ピアソン）」のカイ二乗検定の結果が2つ出力されているのがわかります。

ちょっとだけ違いを説明すると以下の通り。

• 尤度比のカイ二乗検定：観測度数の期待度数に対する比率に基づいてカイ二乗値を計算
• ピアソンのカイ二乗検定：観測度数の期待度数に対する差に基づいてカイ二乗値を計算

こちらのブログで紹介しているカイ二乗検定は、観測度数と期待度数の差に基づく計算なので、いわゆるピアソンのカイ二乗検定です。

一般的にカイ二乗検定といえば、ピアソンのカイ二乗検定を指すことが多いので、JMPで出力される結果に関しても、ピアソンのカイ二乗検定を使うことでOKです。

より厳密に計画を立てるなら、解析計画書（SAP）にどちらのカイ二乗検定結果を使うか明記するのがベストですね！！

JMPでフィッシャーの正確確率検定を行う

次に、JMPでフィッシャーの正確確率検定を行ってみましょう。

JMPでのフィッシャーの正確確率検定は、2×2分割表であれば結果を出力できます。

それ以上の分割表でフィッシャーの正確確率を実施したいとなると、JMP Proが必要になりますのでご注意ください！

というのも、フィッシャーの正確確率検定は近似を用いない方法なので、計算するために統計ソフトにかなりの負担がかかるためです。

フィッシャーの正確確率検定とは

カイ二乗検定と基本的には同じですが、

カイ二乗検定ではカイ二乗分布に近似することを前提に検定を行いますが、

フィッシャーの正確確率検定では組み合わせの計算からp値を計算します。

p値の算出方法が違うため、カイ二乗検定とフィッシャーの正確確率検定では結果が少し異なります。

詳しくは、

>>>フィッシャーの正確確率検定とは？カイ二乗検定と何が違う？分割表の検定

で解説します。

JMPへのデータの読み込み

自分たちのデータを解析する場合は、

[ファイル] > [開く]から解析したデータを開いてください。

ExcelやCSV形式のデータを開くことができます。

この記事では、JMPにすでに用意されているサンプルデータを使います。

[ヘルプ] > [サンプルライブラリー]をクリックします。

すると、次のサンプルデータのディレクトリのウィンドウが出てきます。

今回はカイ二乗検定と同じ” Consumer Preference.jmp”を使います。

JMPでのフィッシャーの正確確率検定

まず、上のメニューバーから[分析] > [二変量の関係] をクリックします。

すると次のウィンドウが出ます。

[Y, 目的変数]に「仕事熱心である」を選択します。

次に、[X, 説明変数]に「性別」を選択します。

そして、[OK]をクリックします。

すると、カイ二乗検定と同じモザイク図と分割表の結果が出ます。

この結果の1番下までスクロールすると、フィッシャーの正確検定の結果が出力されていることがわかります。

2×2分割表の場合には、フィッシャーの正確確率検定の結果がデフォルトで表示されます。

JMPでカイ二乗検定を実施する方法！まとめ

• Fisherの正確検定は2×2分割表ではJMPで出力できるが、それ以上だとJMP proでしか使えない
• 分割表のカイ二乗検定もFisherの正確検定も[分析] > [二変量の関係]から行う
• カイ二乗検定の結果は期待値と実際の値の間の有意性を表す。

この記事では「主要評価項目が複数ある場合はどうする？例を用いてわかりやすく解説」ということでお伝えしていきます。

通常は主要評価項目は1つであることが多いですが、たまに複数の場合の論文を見ることがありますよね。

そのため、

• 主要評価項目（プライマリーエンドポイント）とはそもそも何？
• 主要評価項目が複数ある場合はどうすればいい？
• 主要評価項目が複数ある場合の試験目的達成条件は？

といったことをわかりやすく解説していきますね！

主要評価項目（プライマリーエンドポイント）とは？

そもそも主要評価項目とはなんでしょうか？

ICH E9（臨床試験のための統計的原則）には、以下のように書かれてあります。

”証拠を与えうる変数”である必要があるため、その試験の目的を達成したかどうかを客観的に評価が可能なデータということ。

つまり、研究の目的に合致して、かつ、客観的に数値として評価可能な項目である必要がありますね。

PMDAの指針（新医薬品の臨床評価に関する一般指針について）では、以下のように書かれてあります。

PMDAの指針の方がかなり具体的でイメージしやすい印象ですね。

主要評価項目の例

主要評価項目とは何かをなんとなく掴めたところで、ちょっとだけ例を見てみます。

糖尿病領域の新薬開発であれば、「HbA1cの変化率」が主要評価項目として使われていることが多いです。

HbA1cの変化率は客観的測定して評価することが可能ですよね。

また、抗がん剤の新薬開発であれば、「Overall Survival（OS）の期間」であったり「再発までの期間」が使われていたりします。

これらも、客観的測定して評価することが可能。

主要評価項目は何に基づいて決定される？

では主要評価項目は何に基づいて決められるのでしょうか？

それは「先行研究」や「臨床的・薬理学的に意味のあるもの」などの総合で決められるべきです。

そのため、主要評価項目の決定に関しては統計学的に基づくよりも、臨床的に基づくことが重要になります。

主要評価項目が複数ある場合は？

そんな主要評価項目は通常、1つの研究に対して1つ選ばれていることが多いです。

ICH E9でも「主要変数は通常ただ一つにすべきである。」と明記されています。

しかしながら、研究の目的によっては主要評価項目が必ずしも1つではなく、複数の場合があります。

複数といっても、10個も20個も主要評価項目があることはなく、普通は2つです。

主要評価項目が2つある場合、Co-primary end pointsと呼ばれています。

主要評価項目が2つの場合（Co-primary end points）の例

例えば、こちらの試験では主要評価項目は2つ設定されています。

Once-Weekly Semaglutide in Adults with Overweight or Obesity (John P.H. Wilding et al., March 18, 2021, N Engl J Med 2021; 384:989-1002)

本文中にこのように記載があります。

「The coprimary end points were the percentage change in body weight from baseline to week 68 and achievement of a reduction in body weight of 5% or more from baseline to week 68.」

つまり、「68週の体重の変化率」と「68週の体重がベースラインに比べて5%以上減少したか否か」の2つです。

「68週の体重の変化率」は連続量（量的データ）であり、「68週の体重がベースラインに比べて5%以上減少したか否か」は2値のカテゴリカル変数（質的データ）ですね。

なぜ主要評価項目を2つにしているのか？という疑問に対しては、厳密に言えば研究者しか説明できません。

「先行研究」「薬理学的に意味のあるもの」「薬を発売する上で重要な指標」などを含めて、総合的に判断されるべきことです。

主要評価項目が複数ある場合の試験目的達成条件は？

主要評価項目が複数ある場合、ある問題が出てきます。

それは多重性の問題。

主要評価項目が2つあるということは、少なくとも2つの統計学的な検定を実施するということだからです。

では、上記の論文ではどのように多重性の問題に対処しているかというと、閉手順を用いていることで対処していました。

閉手順とは、検定に順番をつけること。

1つ目の検定で有意だったら2つ目の検定に進み、2番目の検定が有意なら3番目の検定に進みます。

もし検定結果に有意差がなかったら、それ以降の検定は実施しないことで、多重性の問題に対処するのです。

上記の論文では多重性の問題を閉手順で対処していましたが、閉手順にも注意点があります。

それは、「2つとも」達成しなければ研究目的が達成されないという条件になってしまうこと。

つまり、通常の研究よりも、より厳しい基準で試験目的を達成したかどうかを判断することにつながります。

なので、αエラーよりもβエラー（検出力）を考えるべきかもしれないですし、ここは研究目的次第で適切な判断をすることが求められます。

統計の専門家と協議すべき点ですね。

まとめ

いかがでしたか？

この記事では「主要評価項目が複数ある場合はどうする？例を用いてわかりやすく解説」ということでお伝えしました。

• 主要評価項目（プライマリーエンドポイント）とはそもそも何？
• 主要評価項目が複数ある場合はどうすればいい？
• 主要評価項目が複数ある場合の試験目的達成条件は？

といったことが伝われば幸いです！

この記事では「治験の種類をわかりやすく解説！臨床研究との違いやSADとMADとは？」ということでお伝えします。

あなたは、お医者さんに処方される薬がどのような段階を経てあなたの手元に届くかわかりますか？

実は、想像もつかないような期間や費用をかけて、製薬会社はその薬を開発しているのです。

そして、薬を開発するための試験（臨床試験）のことを一般的には治験と呼びます。

”治験バイト”というような言葉もあるぐらいなので、もしかしたらあなたも”治験”という言葉は聞いた事があるかもしれません。

この記事では、治験に関する大まかな説明をするとともに、あなたの薬が手元にとどくまでに必要な治験の種類や費用を説明します。

臨床研究と治験の違いもわかりやすく説明します！

治験とは？臨床研究との違いは何？

治験を一言でいうと、こう説明できます。

”薬を開発する目的で”というところがポイントですね。

一方の臨床研究はというと、このように言う事ができます。

臨床研究は”薬を開発する目的”に限らないこと。

そして、”新規にデータを得る事が目的で、何かしらを投与しなくてもいい”ということがさらなるポイントです。

つまり、観察研究と治験（臨床試験）を含めて、臨床研究となっています。

治験の期間と費用：薬ができるまでにどれだけのコストが必要なの？

お医者さんに処方され、あなたの手元に届いた薬。

これが開発されるまでにどれだけの期間と費用が必要なのでしょうか。

治験が最後まで実施され薬として販売される成功確率：3万分の1

この”3万分の1”という数字は、シーズ（薬と思われる実験段階の化合物）が発見されてから、その化合物が実際に承認される割合を示しています。

医薬品開発にかかる費用は年々増加の一途をたどっています。

その理由の一つとしては、原因が分かっている疾患に対する薬剤がすでに出尽くしているということ。

20世紀の薬の開発は、主に抗菌薬であったり、慢性疾患に対する薬が主でした。

抗菌薬であれば、菌が原因である事がすでにわかっています。

それに対する薬を開発すれば良いだけでした。

しかし今では、原因がわからない疾患に対する薬の開発が求められています。

そのため、失敗する薬の数が多くなり、開発費は年々増加しているのです。

治験を含め薬を開発するまでの費用：3900億円

国際製薬団体連合会（IFPMA）などの報告によると、失敗に終わったプロジェクトのコストも含めた新薬1つあたりの平均開発費用は、約26億ドル（現在のレートで約3,900億円前後）と推計されています（2026年現在）。

先に3,900億円をかけて薬を開発し、その後の特許期間にこれらの開発費を回収しなければなりません。

医薬品には特許があり、その期間は独占的な製造販売が可能になります。

しかしそれ以降は、いわゆる”ジェネリック医薬品”が作られるようになります。

そのため、新薬を開発するメーカーは特許期間に開発費を回収しなければならないのです。

そして、継続的に利益を確保していくためには、年に2つ程度の新薬を販売していく必要があると言われています。

しかし、2つの新薬開発に必要な研究開発費を毎年捻出できる企業は少ないのが現状です。

特に、日本のメーカーではほぼ不可能な数値です。

他の工業製品では研究開発費用の割合が全体の5%程度であるのに対し、医薬品業界は20%前後の研究開発費が必要になります。

それぐらい先行投資する必要がある工業製品ということが分かります。

薬の開発期間：10年

一般的に、研究段階で薬の種（シーズ）が発見され販売されるまで、10年以上かかると言われています。

では、薬の開発にはどのような段階があるのでしょうか？

大きく分けると、以下のような段階があります。

それぞれ、どのような段階かを見てみましょう！

基礎研究段階

基礎研究とは、薬になりそうな化合物を見つける段階です。

基礎研究段階では実際の生き物を使わず、細胞などでその化合物の活性などを調べる段階です。

非臨床試段階験

非臨床試験とは、基礎研究で見つけた化合物を、実際にマウス、ラット、ウサギ、イヌ、マカク（サルの一種）などの動物に投与して、その有効性や安全性を確認する段階です。

「臨床」」という単語は医療において「現場」、あるいは「現場を重視する立場」という意味です。

動物段階での確認は、医療の「現場」ではありませんので、非臨床、という言葉が使われます。

臨床試験段階（治験段階）

そして、非臨床試験をパスした化合物が臨床試験段階に移ります。

この臨床試験では実際にヒトに投与してその有効性や安全性を確認するという段階になります。

臨床試験は大きく分けて３段階に分かれています。

初期段階では主に薬の安全性を確認し、後半で有効性を確認することになります。

申請段階

臨床試験でその化合物の有効性や安全性を確認出来た時に、承認申請段階に入ります。

この段階では厚労省直下の独立行政法人である、医薬品医療機器総合機構（PMDA）が、申請販売するのに十分な試験を違いなく実施しているかなどを確認します。

今までの基礎研究段階から臨床試験段階までのデータとその結果が報告されている報告書を作成して申請します。

これらを全てパス出来たものだけが、実際に薬として販売されるのです。

治験の種類はどれぐらいある？SADやMADって何？

治験（臨床試験）とは、薬を開発する目的で、薬を人に投与してその有効性と安全性を確かめる試験のことでした。

そして、あなたの手元に処方されるまでに、10年以上、3900億円をかけて開発される事がわかりました。

では、治験にはどれだけの種類があるのでしょうか？

一口に”治験”と言っても、様々な種類の試験があります。

例えば、健康成人に投与する試験、患者さんに投与する試験、腎機能や肝機能が低下している患者さんに投与する試験など、様々な試験があります。

その試験が何を目的にするかによって、第I相試験、第II相試験、第III相試験、臨床薬理試験などと呼ぶことがあります。

それぞれの試験の概要を見てみましょう。

治験の各段階で、統計の役割も変わってきます。

治験の種類：第I相試験の概要（SAD、MAD）

第I相試験は、健康成人の被験者さんに協力してもらって、その薬剤の薬物動態、安全性及び忍容性を確認する段階です。

（抗がん剤など、毒性の強い薬に関しては、第I相試験から患者さんで治験する場合があります。）

その試験のデザインによって、単回投与試験（SAD；Single Ascending Dose）や反復投与試験（MAD；Multiple Ascending Dose）などと呼びます。

SADの読み方は、サドやサッドのどちらかで呼びます。

MADの読み方も、マドやマッドのどちらかで呼びます。

非臨床で確認された、毒性が出る用量の何十分の一、何百分の一の用量で試験をしていきます。

第I相試験では、最も少ない用量から安全性が確認でき次第、次の用量の試験をするという、用量漸増法という方法を用います。

用量の上げ方は、大体3の公比で上げていくことが多いです。

つまり、0.3mg → 1.0mg → 3.0mgという感じです。

第I相試験ではなぜ健康成人に投与するのか？

第I相試験では、まず健康成人に投与します。

この理由としては、何か有事のことがあったときに、健康成人の方が治癒しやすいということが挙げられます。

第I相試験では、世界で初めてヒトに投与する試験でもあるため、万が一を想定した試験を組む必要があります。

人に投与する前までに、安全性は動物実験でかなりの期間をかけてデータを蓄積しています。

そのため、本当に”安全だろう”と会社も国も確認した段階で人に投与されます。

しかし、動物と人との種類の違いによって、万が一の事が想定されるのです。

第I相試験でおきた過去の悲劇

第I相試験で有名な悲劇としては、2006年に第I相試験が実施された「TGN1412」というモノクローナル抗体が有名です。

６人の健康ボランティアに使用され６人全員が、直後から全身の痛みや呼吸困難を訴え、意識がなくなり1時間後には多臓器不全のためICUに入院したという事件でした。

このように、安全性を担保して実施することが大前提ですが、それでも完全に安全である保障はできないのが臨床試験です。

治験の種類：第II相試験の概要

第II相試験は、第I相試験で確認できた用量の範囲の中で、今度は患者さんを対象として用量の反応性を確認する試験です。

容量の反応性とは、有効性や安全性を指しています。

この中で、リスクベネフィットが一番良い用量を採用して第III相試験に移行します。

第II相試験は反復投与が基本で、薬剤のの半減期などを考慮して定常状態になるまでの期間、反復投与されることが多いです。

第II相試験で重要なPoCという概念

第II相試験は、基礎的な研究で予想された薬の効果が、実際に動物またはヒトへの投与試験により証明されるかどうか？ということも確認されます。

これをProof of Concept（PoC；ポック）と呼びます。そのため、第II相試験は倫理的に許される限り、単剤での試験を実施します。

色々な種類の第II相試験

第II相試験には、単剤での用量反応試験を中心として、様々な試験の仕方が考えられます。

例えば、PoCを取るために単剤で試験を実施しますが、その疾患では様々な薬剤を併用することが多い場合には、併用した時の新薬の有効性や安全性はどうか？といった試験を実施することも考えられます。

第III相試験で採用する用法用量を探索するというイメージ

第II相試験は様々な内容の試験方法が考えられます。そのため、ひとくくりにすることが出来ないのですが、イメージとしては、第III相試験で採用する用法用量（レジメン）を確認することを目的とするのが第II相試験です。

そして、第II相試験で探索的に確認されたレジメンを用いて、第III相試験で検証するという流れになります。

治験の種類：第III相試験の概要

第III相試験とは、その薬剤の有効性と安全性を確立する試験です。

そのため、この試験で設定した主要評価項目（プライマリーエンドポイント）について、比較対象との統計的な検証が求められます。

そのため、この試験での統計の役割はすごく重要になってきます。

主要評価項目としては、有効性の項目を設定することが多く、症例数も主要評価項目に基づいて設定します。

第III相試験で重要な概念は、比較可能性と一般化可能性。

そして、統計解析計画書（SAP）も作成手順が重要になりますね。

第III相試験は同じ試験を二つ実施しなければならない？

アメリカの薬剤の審査機関であるFDAは、第III相試験を同じデザインで2つ実施することを求めています。

この第III相試験が2つとも主要評価項目を達成すれば、ほぼ間違いなく薬剤は承認されます。

もし1つだけしか達成できなかった場合には、その後の審査の段階で色々と説明をする必要があります。

ただし、これはその薬剤がターゲットとする患者数にも依存するため、例えば、患者巣が少ない疾患であれば、1つの第III相試験だけで承認されることも多いです。

治験では安全性の検証は難しい

第III相試験であっても、安全性に対する検証は不可能です。

それは有害事象や副作用の発生率の低さと、その発生率に対する検証のための症例数がとても必要になるからです。

そのため、第III相試験では確認しきれなかった安全性に対する確認を、承認後に求めることが多いです。

これが全例調査というもので、最低何例は確認しなさい、という当局からの宿題になります。

その他の治験の種類

上記の治験を経て、薬は開発されます。

しかし、これらの治験以外にも、特殊な治験が存在します。

その他の治験：製造販売後臨床試験の概要

特殊な治験の一例が、製造販売後臨床試験です。

製造販売後臨床試験（市販後臨床試験）とは、読んで字のごとく、薬剤が販売された後に実施する試験です。

販売されたのに、今更なにを試験するの？と思う方もいらっしゃると思いますが、実はこの試験が薬剤の売り上げを左右することになる可能性があります。

まずは製造販売後臨床試験の定義を見てみます。

製造販売後臨床試験とは、製造販売後調査等のうち、製造販売業者等が、治験若しくは使用成績調査の成績に関する検討を行った結果得られた推定等を検証し、又は診療においては得られない品質、有効性及び安全性に関する情報を収集するため、当該医薬品について承認された効能・効果及び用法・用量に従い行う（臨床）試験

・・・さっぱり分からないですね。

製造販売後臨床試験を行う目的

定義から考えるより「なぜ企業が製造販売後臨床試験を行うか？」という目的から考えてみましょう。

結論から言いますと、製造販売後臨床試験を行う目的は「その薬剤に付加価値を与える情報を得る」ということです。

どういうことかを、風邪薬の例を用いて解説してみます。

風邪薬は複数の会社から多くの種類が出ています。

その際に、自分たちの薬剤をどのように他社の薬剤と差別化できるでしょうか？

それはやはり、付加価値のあるデータを取る、ということです。

風邪薬であれば、風邪を早く治せると証明できれば、販売の承認を得ることが出来ます。

しかし患者さん目線で考えた時に、同じような有効性がある2つの薬剤に関して、「眠くなりにくい風邪薬」と「眠気が必ず起こる風邪薬」では、どちらを選ぶでしょうか？

90%ぐらいの患者さんが「眠くなりにくい風邪薬」を選ぶのではないかと思います。

ただし治験では、眠くなりにくいということを証明したとしても、風邪が治らなければ風邪薬として承認されません。

そのため、治験ではちゃんと風邪薬としての有効性を証明し、製造販売後臨床試験で差別化ポイント（この例では眠気）のデータを取得していくのです。

製造販売後臨床試験での制約

製造販売後臨床試験は治験と違って、制約があります。

それは、承認された患者集団にしか投与できず、かつ承認された用法用量でしか投与が出来ないということです。

つまり、風邪薬の製版後臨床試験であれば、風邪をひいていない人で試験は出来ず、1日3回1錠の用法用量で承認されているのであれば、その用法用量から変更してはいけません。

製造販売後臨床試験で得たデータはどう使われるか？

冒頭で、製造販売後臨床試験が薬剤の売り上げを左右することになる可能性があります、と書きました。

この試験のデータによってその疾患の治療ガイドラインの位置付けが変わることがあり、他の薬剤との差別化につながるためです。

また、製造販売後臨床試験で得たデータを基に新たな適用拡大に向けた治験を開始することも、十分に考えられることです。

治験とは？まとめ

あなたの手元に処方された薬。

それは、10年以上3900億円以上をかけて開発されたものです。

そして治験には、様々な種類がありました。

それらを経て、有効性と安全性が十分であったものだけがあなたの手元にあるのです。

バートレット検定という統計手法はご存知でしょうか？

分散分析などの検定手法に比べて目立たない検定なので知らない方も多いかもしれません。

ですが論文などでバートレット検定が出てくる場合もありますので、結果を理解する上では知っておいて損はないでしょう。

本記事では、なるべく分かりやすくバートレット検定について解説していきますね！

バートレット検定とは？

バートレット検定は各群の分散が等しいかどうか確かめる検定です。

そのためバートレット検定のことを”等分散性の検定”と呼ぶこともあります。

バートレット検定の結果、p値が有意水準を下回った場合に“比較した群の分散は等しくない”という判断をします。

ある検定を実施する上では分散が等しい方が望ましい検定もあるため、p値が有意水準より高く出る方が良いことが多く、通常の検定と結果の見方が逆になるので注意して下さい。

またバートレットは各群の分布が正規分布している時にしか使えません。

正規分布していない場合はルビーン検定という検定手法を使うようにしましょう。

以上がバートレット検定の概要ですが、まだまだ説明不足な点も多いので、一つ一つ詳しく説明していきましょう。

バートレット検定が確かめている分散とは？

「そもそも分散って何？」

となった方もいると思うので、分散とは何か解説していきましょう。

分散を一言で表すと、”データのばらつき”です。

分散が小さいと全てのデータが平均値付近にあり、分散が大きいと平均値から離れたデータが多いということです。

計算方法を言葉で表すと、”各データの値から全体の平均を引いたものを2乗し、全て足し合わせた後にn数で割ったもの”となります。

分散についてはこちらで解説していますので、もっと詳しく知りたい方はご覧ください。

なぜバートレット検定が必要なのか？

「どうして分散が等しいかどうか確かめる必要があるの？」

と疑問に思われた方も多いかもしれません。

でも分散が等しいか確かめることは非常に大事なのです。

なぜなら分散が等しくない場合、一部の検定を使うことが出来なくなってしまうからです。

• StudentのT検定
• 分散分析
• テューキー検定

今挙げた検定はいずれも有名ですが、これらは全て各群の分散が等しいことを前提としているパラメトリック検定なのです。

つまりこれから分散分析やテューキー検定を使う予定がある場合、事前にバートレット検定を検討することがあります（T検定の場合は後述するF検定を検討します）。

これがバートレット検定が必要な理由です。

ただし、どの検定を使うか判断するために検定を実施することは、多重性の問題や標本データに依存しすぎた判断になるため、あまり推奨しません。

そのため、各群のヒストグラムや箱ひげ図などを作成しながらざっと判断する、ということでOKかなと、個人的には思っています。

ちなみに正規分布しているけど分散が等しくないという結果になった場合、

• T検定→WelchのT検定
• 分散分析→一元配置分散分析Welch拡張
• 多重比較→ゲームズハウエル法

という変法を使えば問題ありません。

バートレット検定とF検定の違いは？

F検定は2群間の分散が等しいかどうか確かめる検定です。

「あれ？それってバートレット検定と同じじゃない？」

と思った方も多いと思います。

分散が等しいか確かめる点では、バートレット検定もF検定も同じです。

違うのは、比較する群の数です。

• 2群間の分散をみる→F検定
• 3群以上間の分散をみる→バートレット検定

このように群の数によって使う検定が変わってきます。

実際に検定をかけるときは、群の数を確認してからどちらを使うか決めるようにしましょう。

F検定について詳しく知りたい方はこちらの記事もご覧ください。

バートレット検定はエクセルで実施できる？

バートレット検定をエクセルで実施するのはかなり大変です。

実施できないことはないのですが、計算式が複雑なためすごく時間と手間がかかります（数式を間違えるリスクもあります）。

ですのでバートレット検定をかける際は、フリーソフトのEZR等の統計解析ソフトを使うことをおすすめします。

特にEZRは無料で使うことができ、バートレット検定などの統計検定を簡単にかけることができる統計ソフトです。

なるべく使い慣れたエクセルで済ませたい気持ちも分かりますが、複雑な数式を打つ時間をEZRの勉強に当てた方が確実に時短できますので、是非使ってみて下さい。

バートレット検定をエクセルで実施する方法

どうしてもエクセルを使わないといけない事情がある人に向けて、エクセルでバートレット検定を実施する方法を解説していきますね。

バートレット検定をエクセルで実施するには以下の手順で計算していきます。

1. 各群の分散と全体の分散を計算する
2. 統計量を算出する（χ2値)
3. χ2分布表から統計量が有意水準を上回っているか確認する

ここではA群(n=5),B群(n=8),C群(n=10)に対してバートレット検定をしていってみましょう。

各群の分散と全体の分散を計算する

各群の分散は、エクセル関数の”VAR.S()”を使用しましょう。

次に全体の分散を計算します。

さきほど算出した分散と各群の(標本数-1)を掛け算し、全て足し合わせましょう。

例だと

(A群の分散×4)+(B群の分散×7)+(A群の分散×9)

という具合に計算していきます。

最後に全体の標本数の総数から群の数を引いた数で割ってあげましょう。

例では全体の標本数が5+8+10=23で、群の数が3ですので、23-3=20で割ります。

まとめると、今回の例では

全体の分散＝{(A群の分散×4)+(B群の分散×7)+(C群の分散×9)} ÷ 20

となります。

ここまでは大丈夫でしょうか？

次の統計量がややこしいので頑張りましょうね！

統計量を算出する

まずはじめに統計量の計算式の概要がこちらです。

とにかく計算量が多いため、一つずつじっくりやっていきましょう。

まずは分子の計算です。

(全体の標本数-群の数)×log(全体の分散)から(各群の標本数-1)×log(各群の分散)を引いています。

例だと

{(23-3)×log(全体の分散)}-{(5-1)×log(A群分散)+(8-1)×log(B群分散)+(10-1)×log(C群分散)}

となります。

logの計算はエクセル関数の”LN()”関数を使いましょう。

常用対数のLOG関数ではなく、自然対数のLN関数なので注意して下さい。

続いて分母の計算です。

分母の中で分数が出てくるので厄介ですが、これも一つずつ計算していきます。

まずは分母の分子部分です。

1/(5-1)+1/(8-1)+1/(10-1)-1/(23-3)

という感じで計算します。

分母は3×3 – 3です。

先程の分子を今計算した分母で割った後、1を足せばOKです。

例だと

{1/(5-1)+1/(8-1)+1/(10-1)-1/(23-3)}÷(3×3 – 3) + 1

という感じです。

ようやく計算式の分母と分子の計算が終わりましたので、分子を分母って割れば統計量が出ます！

かなり大変ですが、ここまで出来れば後もう一息です。

頑張りましょう！

χ2分布表で有意か確認する

こちらでχ2分布表を確認できます。

有意確率は0.05、自由度は(群の数-1)で該当する値を確認しましょう。

先程算出した統計量が該当した値を上回っていれば、有意に分散が等しくないことが示されます。

以上がエクセルでバートレット検定を実施する方法です。

まとめ

最後におさらいをしましょう。

バートレット検定はメインの検定ではなく、事前準備の際に必要な検定です。

そのためあまり話題に上がることはないのですが、統計の知識がある方はバートレット検定を使っています。

間違った統計解析をしないためにも、本記事の内容を覚えておいてもらえれば幸いです。

最後までお読み頂きありがとうございました。

この記事では「有害事象・副作用・副反応の違いとは？因果関係の有無が判断の鍵」としてお伝えします。

臨床試験や臨床研究を実施していると、有害事象・副作用・副反応のそれぞれの用語を目にすることが多いかなと思います。

その際に「どの用語がどんなことを示しているんだっけ？」と混乱することもしばしば。。

そのため今回の記事では

• 有害事象とは因果関係を問わない
• 副作用は因果関係を否定できない
• 副反応はワクチン接種の場合の副作用
• 要約する際には件数と例数の違いに注意

ということを整理していきたいと思います！

有害事象とは因果関係を問わない好ましくない全ての事象

まずは、有害事象について整理していきましょう。

有害事象は、有害事象・副作用・副反応の中で一番大きい概念です。

有害事象の定義はこちら。

「因果関係を問わない」ことが最も大きな特徴です。

例えば、

• 風邪をひいた
• 転んで足を骨折した
• 頭痛が発生した
• 筋肉痛が発生した
• etc

これら全て、被験者にとっては好ましくない事象ですよね。

因果関係があろうとなかろうと好ましくない事象が発生した時点で「有害事象が発生した」となります。

英語だとAdverse Event（AE）と記載されます。

副作用は因果関係を否定できない有害事象

副作用は、有害事象の中で「因果関係が否定できない」事象のこと。

なので、下記のようなイメージです。

ただし、副作用という言葉は「医薬品を使っている場合」の言い方です。

ワクチンの場合は後述する「副反応」を使います。

通常、臨床試験では、全ての有害事象に対して因果関係のデータを取得しています。

因果関係の判定基準は試験実施計画書（プロトコル）で規定するのですが、例えば、「確実に関係あり、たぶん関係あり、可能性あり、たぶん関係なし、関係なし、不明」という分類データを取得します。

この中で「関係なし」以外の事象は副作用とする、というように、副作用の定義もプロトコルもしくは解析計画書に規定します。

副作用は英語だとAdverse Drug Reaction（ADR）と記載されますね。

副反応はワクチン接種の場合の副作用

副反応は、特にワクチン接種後に見られる身体の反応を指します。

ワクチンが体内に入ったことに対する免疫系の反応であり、通常は一時的なものです。

副反応には、発熱、注射部位の腫れや痛み、倦怠感などがあります。これらは免疫系が活発に働いている証拠であり、通常は数日で治まります。

なぜ「副作用」と「副反応」が言葉として使い分けられているかといえば、副反応は免疫系がワクチンに反応することで生じるため、ある意味正常な反応なのです。

一方で、副作用は薬の有効成分が意図しない部位や機能に影響を与えることによって生じます。

そのため、意図した反応なのか、意図しない反応なのかを区別するために、用語としても分けられているのかと推測しております。

要約する際には件数と例数の違いに注意

有害事象・副作用・副反応の違いについて整理できたかなと思いますので、次に有害事象・副作用・副反応の解析の仕方について解説します。

有害事象・副作用・副反応の解析に関して注意したいのは、「例数」と「件数」の違い。

詳しくは「例数と件数の違いは？有害事象や副作用報告で使われる2つの数値の意味」という記事を見ていただきたいのですが、少しだけこの記事でも整理しておきます。

有害事象・副作用・副反応の解析で重要な例数と件数の違い

例数と件数の違いを有害事象で考えてみましょう。

Aさん、Bさん、Cさんの3人がいて、試験中に以下のように有害事象が発生したとします。

この時、「頭痛」という有害事象はAさんとBさんに起こっているため、2例に発現しています。

そしてAさんは頭痛を1回、Bさんは頭痛を2回発現しているため、3件発現したことになります。

そして「風邪」はAさんにだけ1回発現しているため、1例1件の発現、という数え方です。

そのため今回の例だと、以下のような数え方になります。

• 有害事象の発現は2例4件
• 頭痛の発現は2例3件
• 風邪の発現は1例1件

そのため、例数は「その有害事象を発現したかどうかの有無」を数えていることに相当し、件数は「その有害事象を発現した回数」を数えていることに相当することがわかります。

有害事象・副作用・副反応の実際の解析を見てみる

例数と件数の違いがわかったところで、実際に論文の表を見てみます。

下記の表を見ると、件数と例数をどちらも要約していることがわかります。

「Total no. of AE」が件数を示していて、「Patients with ≧1 AE」が例数を示しています。

（引用：https://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa1606490）

上記からもわかる通り、例数では「割合(%)」を計算することができますが、件数では割合を計算することはできません。

まとめ

いかがでしたか？

この記事では「有害事象・副作用・副反応の違いとは？因果関係の有無が判断の鍵」としてお伝えしました。

• 有害事象とは因果関係を問わない
• 副作用は因果関係を否定できない
• 副反応はワクチン接種の場合の副作用
• 要約する際には件数と例数の違いに注意

ということを整理できたのなら幸いです！

「エクセルできれいなヒストグラムを作りたいけど、作り方が分からない」

「エクセルでヒストグラムを作った時の横軸のデータ区間や階級幅はどうしたらいいの？」

といったことでお困りでしょうか？

この記事ではエクセルでのヒストグラムの作り方や、データ区間や階級幅を決めて横軸を調整する方法を紹介します。

ヒストグラムはデータ分析でかなりよく使われるグラフで、慣れれば誰でも簡単に作ることが出来ます。

ヒストグラムの作り方を覚えれば、かっこいいプレゼンテーションが出来るようになりますので、是非マスターしていって下さいね！

※当記事ではExcel 2019を使用しております。

ヒストグラムを作るメリットは？

ヒストグラムを作るメリットは以下の3つです。

ヒストグラムを作るメリット①データの分布が一目でわかる

ヒストグラムを作る最大のメリットは、データの分布が一目でわかることです。

実際にみてみましょう。

まずはヒストグラムを使わずにデータの分布がどのようになっているか、確認してみます。

サンプルデータとして、ある集団の身長データを使ってみました。

160~170cmの人が多いことが分かりますね。

次にこれをヒストグラムで示してみましょう。

いかがでしょう？ヒストグラムの方が分かりやすいと思いませんか？

このように、データのある値にどれくらいデータ数があるのか、ヒストグラムは一目で把握することができるのです。

ヒストグラムを作るメリット②外れ値にすぐ気づける

ヒストグラムを作れば外れ値に一瞬で気づくことができます。

外れ値とは、他のデータと値が極端に違うデータのことです。

外れ値は計測ミスや入力ミスによることが多いため、すぐに発見しなければいけません。

しかし、データ数が多くなればなるほど、外れ値を目視で見つけるのが大変になります。

計算式で外れ値を見つけることもできますが、それも面倒くさいですよね。

そんな時に役立つのがヒストグラムというわけです。

実際にみてみましょう。

先ほどのサンプルデータのうち、一つのデータを1000にしてみました。

するとヒストグラムはこのようになります。

一目瞭然ですね。

このように外れ値を確認したい時は、ヒストグラムを作ってしまえば簡単に確認できます。

一緒にデータの分布も確認できますし、一石二鳥ですね。

ヒストグラムを作るメリット③かっこいい

ヒストグラムを使ってプレゼンをすると、かっこいいです。

ヒストグラムはデータ分析作業中だけでなく、スライド作りにもそのまま使うことができます。

よく新人のプレゼンでみるのが、データの平均値と標準偏差を書いて終わり、というパターンです。

全てをグラフ化する必要はありませんが、発表の肝となるものは平均値や標準偏差だけでなく、ヒストグラムを使った方が分かりやすくかっこいいプレゼンができます。

作ったグラフをパワーポイントにコピペするだけなので、作るのも簡単です。

今まで使ったことがない方は、是非今度のプレゼンで使ってみてくださいね。

エクセルでのヒストグラムの作り方

では、エクセルでヒストグラムを作っていきましょう！

エクセルでのヒストグラムの作り方1：データを用意する

ヒストグラムの作り方をなるべく分かりやすく紹介していきますね。

まずはヒストグラムを作るデータを用意しましょう。

ここでは先ほど使った身長のサンプルデータをそのまま使用します。

図のように、一番上にデータ名を入力し、その下に値を並べていってください。

エクセルでのヒストグラムの作り方2：データを選択し、挿入リボンからヒストグラムを選択

次にデータを選択し、リボンの”挿入”をクリックしてください。

図のアイコンのところにカーソルを合わせてヒストグラムを選択してください。

エクセルでのヒストグラムが完成！でも少し見にくい？

タイトルを入力すればヒストグラムの完成です！

慣れればすぐに出来ますよ！

ただこのグラフ、そのままだと見にくいように感じませんか？

出来ればもっと見やすいグラフにしたいですよね。

ここから先は、作成したヒストグラムを見やすく、かっこよくしていく方法を紹介していきます。

エクセルで作ったヒストグラムの横軸（データ区間や階級幅）がおかしい！どう変更する？

エクセルで作ったヒストグラム。

デフォルトの横軸だと見難かったりします。

なので、横軸のデータ区間や階級幅を変更していきましょう。

実はデータ区間や階級の幅には2通りの決め方があります。

横軸の階級幅の決め方その①　区切りの良い値を決めて区分する

1つ目の方法はキリの良い値で区分する方法です。

身長のサンプルデータの場合、5㎝ごとに区切り6分割してみましょう。

まずはグラフをダブルクリックし、軸のオプションを横軸に設定します。

次に、一番右のヒストグラムアイコンをクリックします。

ビンの幅を”5.0″に変更すると、グラフも自動で変更されます。

ちなみにビンとはヒストグラムの棒を英語にしたもので、ビンの幅はデータ区分または階級の幅を意味します。

横軸の階級幅の決め方その②　先に分割数（棒の本数）を決めて区分する

もう一つの方法は分割数を先に決めてしまう方法です。

ためしに先ほどのサンプルデータを使って、10分割してみましょう。

先ほどビンの幅を調整した画面から、今度はビンの数を10にしてみましょう。

無事に10分割されましたね。

先ほどより細かくデータの分布がみられるようになりました。

この場合、データは3cmずつ区切られるよう調整されています。

どちらの決め方が良いかはデータによるため、正解はありません。

実際にいろいろな値を試しながら見やすいヒストグラムを作っていきましょう。

一応スタージェスの公式というビンの数を決めるための公式がありますので、参考にしてみてください。

以下はスタージェスの公式を元にしたビンの数早見表です。

横軸を調整してことで、初期の状態と比べて大分見やすいヒストグラムになりましたね。

でも、最後にもう少しブラッシュアップしてさらに見やすくしていきましょう。

エクセルで作成したヒストグラムを見やすくする方法

エクセルで作成したヒストグラムに対して、さらにみやすくしていきます。

縦軸を消す

まずは縦軸を消してしまいましょう。

まずはグラフのオプションで”縦軸”を選択しましょう。

次にペンキアイコンをクリックして”自動”から”線なし”に変更しましょう。

「え？本当に消しちゃって大丈夫？」

と思われるかもしれません。

ですが、ほとんどの場合、グラフの縦軸はなくても問題ありません。

試しに縦軸を消す前と消した後で、グラフを見比べてみましょう。

いかがでしょう？なくても問題ないと思いませんか？

基本的に線は少ない方がより見やすいグラフになるため、必要のない線はどんどん消していきましょう。

縦軸を調整する

次に縦軸を調整していきます。

今のヒストグラムだと、0.5単位で数値が刻まれていて見にくいですよね。

これは縦軸の最大値を調整することで解決できます。

グラフのオプションで”縦軸”を選択し、ヒストグラムアイコンをクリックして最大値を”6″に変えてみましょう。

これできれいになりましたね。

ちなみに最大値が5以下だと0.5刻みで縦軸が表示されてしまうため、今回は”6″に設定しました。（これもデータによって異なるため、いろいろな値を試して調整してください）

補助線を消す

次はグラフ上の薄い横線（これを補助線といいます）も思い切って消しちゃいましょう！

まずはグラフ上の補助線を直接クリックしてください。

すると以下のような状態になるため、この状態で「back spaceキー」を押してください。

補助線を消すとこのようになります。

いかがでしょう？

かなりシンプルなグラフになってきました。

次が仕上げです。

グラフの外枠の線を消す

最後にグラフの一番外側の薄い線も消してしまいましょう。

軸のオプションで”グラフエリア”を選択した後、ペンキアイコンクリックして”線なし”に変更しましょう。

これで完成です。

エクセルでのヒストグラムの作り方まとめ

最後にヒストグラムの作り方をおさらいしておきましょう。

①リボンの”挿入”からヒストグラムアイコンをクリックしてヒストグラムを作成
②データ区間または階級の幅変更して横軸を調整
③縦軸を消去
④縦軸の最大値を変更
⑤補助線を削除
⑥グラフの外枠を削除

以上がきれいなヒストグラムを作るために必要な流れです。

データ分析の最初に各項目のヒストグラムを作っておくと分析の役に立ちますので、今回紹介したヒストグラムの作り方を覚えて頂けたら幸いです。

＞＞標準偏差のエクセルでの関数はどれ？

正規分布とともに、統計学ではよくでてくる二項分布。

二項分布はコイントスでのコインの表と裏のように、結果が2つしかないときに生じる分布です。

この記事では、二項分布に欠かせないベルヌーイ試行と二項分布について、正規分布との違いも含めて統計初心者にもわかりやすく説明していきます。

二項分布とは？ベルヌーイ試行との関係

上の図は、コイントスを100回行ったときに、コインが表になる回数になる確率を表したものです。

コイントスのように、ある行動や試行に対して結果が2つしかないときに生じる分布を、二項分布と呼びます。

“ある行動や試行に対して結果が2つしかない”ということが、二項分布では重要になります。

二項分布はベルヌーイ試行の確率分布：”試行に対して結果が2つしかない”

“試行に対して結果が2つしかない”ような実験や試行のことをベルヌーイ試行と言います。

二項分布はベルヌーイ試行の確率分布です。

例えば「勝ちと負け」、「生と死」、「アタリとハズレ」、「表と裏」といったものです。

このベルヌーイ試行であるには3つの条件があてはまる必要があります。

1. 試行の結果は成功か失敗かどちらかであること。
2. 各試行は独立であること。
3. 成功確率と失敗確率は常に一定であること。

ベルヌーイ試行では結果が2つしかないので、

成功確率 =   1 – 失敗確率

という関係が成り立ちます。

また、成功確率はp、失敗確率はqとしても表されることがよくあります。

では、これら3つの条件を順番に解説していきます。

ベルヌーイ試行の条件1：”試行の結果は成功か失敗かどちらかであること”

これは、例えばコイントスの場合、コインの表=成功、コインの裏=失敗として考えてみます。

するとコイントスも、“試行の結果は成功か失敗かどちらかであること”の条件に当てはまります。

しかし、もしコインが割れたり、コインがたったりして、表と裏以外の結果が存在する場合は、”試行の結果は成功か失敗かどちらかであること”にあてはまらず、ベルヌーイ試行ではないと言えます。

ベルヌーイ試行の条件2：”各試行は独立であること”

コイントスでは、1回投げて表が出たとしても、次のコイントスでは表と裏が1：１の確率で出ます。

このように、前の試行の結果が次の試行に影響与えないことを”各試行は独立”と言います。

一方で、くじ引きで、10本のくじの中で1本のあたりがあるときを考えてみます。

10本のくじの中で1本のあたりがあるので、あたりを引く確率は1/10ですよね。

しかし、もし一人目の人があたりのくじを引いてしまうと、二人目の人があたりを引く確率は0/9となってしまいます。

このように、前の試行がそれ以降の試行の結果に影響を与える場合は、”各試行は独立”ではないので、ベルヌーイ試行ではないと言えます。

ベルヌーイ試行の条件3：”成功確率と失敗確率は常に一定であること”

サイコロを投げる時、6の目が出る確率（成功）と、6の目が出ない確率（失敗）は1/6：5/6の確率で出ます。

これは“成功確率と失敗確率は常に一定”であると言えます。

しかし、もしサイコロ投げが上達して6の目を出すコツをつかんだとしたら、6の目が出る確率が増加して、6の目以外が出る確率が減少していくでしょう。

これは“成功確率と失敗確率は常に一定”ではなので、ベルヌーイ試行とは呼べません。

二項分布とは？わかりやすく！

二項分布は、先ほど説明したベルヌーイ試行の確率分布です。

二項分布では試行回数をn、成功した回数をk、成功する確率をpの文字でよく表します。

式で書くと下のようです。

ややこしいですね。

ですがこの式を覚える必要はないです！！

しかし、覚えていてほしいこともあります。

それは、二項分布では、試行回数n、成功した回数k、成功する確率pがあれば、期待値（平均）と分散が簡単に計算することができるということ。

二項分布の期待値（平均）

二項分布の期待値は

二項分布の期待値 = 試行回数 x 成功する確率 = n x p

です。

すごい簡単ですよね。

二項分布の分散

二項分布の分散は

二項分布の分散 = 試行回数 x 成功する確率 x (1 – 成功する確率)

文字式で表すと、

二項分布の分散 = n x p x (1 – p)

です。

これも、すごい簡単ですよね。

二項分布と正規分布の関係は？どこに違いがあるの？

二項分布と正規分布にはおもしろい関係があります。

それは、試行回数nが大きくなると、二項分布そのものが正規分布の形に近づく（近似できる）というものです。

近似した後の正規分布は、元の二項分布の期待値（平均）と分散を引き継ぎます。

この性質は、中心極限定理に基づいています。

先ほど、

二項分布の期待値  = n x p

二項分布の分散 = n x p x (1 – p)

という式を紹介しました。

この関係式によると、期待値（平均）と分散の両方の式に、試行回数nが入っています。

つまり、試行回数nを大きくすれば、期待値と分散は正規分布に近似することができます。

正規分布を導出するメリットは、2つあります。

1. 正規分布は標準偏差がわかれば、ある範囲にデータが含まれる確率がわかる
2. 標準正規分布表を使えば、ややこしい計算が必要なくなる

という点ですね。

正規分布とは？簡単にわかりやすく標準偏差との関係やエクセルでのグラフ化を解説

標準正規分布表の見方について！標準化やZ値の計算式はどうすればいい？

詳しい導出は省きますが、正規分布に近似した二項分布に基づく割合の標準偏差（例えば、全体における男性の割合など）は、次の式で表すことができます。

標準偏差 = sqrt[（p(1 – p)/ n）]

この性質は、世論調査や視聴率の調査などで利用されています。

標準偏差と標準誤差の違いをわかりやすく！グラフでの使い方とサンプル数についても

二項分布に関するまとめ

• 行動に対して結果が2つしかない試行のことをベルヌーイ試行と呼ぶ
• 二項分布はベルヌーイ試行の確率分布
• 試行回数nを大きくすれば二項分布の期待値と分散は正規分布に近似できる

エクセルでヒストグラムを作った時に

• 「階級数はどれくらいにするべきなんだろう？」
• 「階級数はいくつが良いのか、客観的な指標がほしい！」

と思ったことはありませんか？

実はそんな方にピッタリな”スタージェスの公式”というものがあるのです！

スタージェスの公式とは、データ数からヒストグラムに最適な階級数を求める計算式のことです。

本記事では、スタージェスの公式とは何か？数式の根拠や証明はされているのか？といった疑問にお答えしつつ、エクセルで実際に活用する方法をお伝えしていきます。

スタージェスの公式とは？

スタージェスの公式とは、

データ数がnの時，ヒストグラムの階級数(ビンの数)は1+log2nにするのがよい

という、ヒストグラムを作成するときに階級数の目安を決めるための数式です。

logを見ると拒否反応を示す人が多いと思いかもしれません。

ですが計算は意外とシンプルですし、エクセルなら一瞬で計算してくれますので、数学が苦手な方でも安心して使えます（エクセルでの活用方法は後ほど！）。

一度知っておくと階級数を決めるいい目安になって便利ですよ！

実際にスタージェスの公式を使って階級数を調べてみましょう。

このような感じでデータ数に2をかける毎に階級数が1つずつ増えていきます。

そんなに複雑じゃないですよね。

計算式でみた時より、大分イメージが出来てきたのではないでしょうか。

このようにデータ数から階級数の目安を算出できるのが、スタージェスの公式の利点です。

ただこのスタージェスの公式、本当に根拠のある数式なのでしょうか？

スタージェスの公式の証明

スタージェスの公式を見ると

• 「なんでこんな変な計算式になってるの？」
• 「この数式に根拠はあるの？」

といった疑問が出てきますよね。

実際にこちらでスタージェスの公式の証明がなされています。

ですがこのスタージェスの公式、証明するのはかなり高度な数学の知識が必要です(大学数学レベルです）。

正直に申しますと、数字に強くない方は細かいことはスルーして「ちゃんと数学的に根拠のある公式なんだな」と理解しておいた方がいいです。

目安として使わせてもらうだけなら、数式の成り立ちなんて関係ないですからね。

でもどうしても根拠が知りたい方もいると思います。

なぜこのような数式になるのか、めちゃくちゃ簡単に説明していきますね。

数学の知識がほとんどない人でも分かるように説明するので、頑張ってついてきてください！

まずはじめに、スタージェスの公式では完成したヒストグラムが正規分布の形になることを仮定しています。

正規分布とは、こんな形の分布です。

ある階級数の時にヒストグラムがきれいな正規分布の形になるように、最低限必要なデータ数を算出し、それを逆算してデータ数から必要な階級数を求めるのがスタージェスの公式です。

「逆算？ちょっと何言ってるか分からない」

ってなりますよね(＾＾；)

まだよく分からないと思うので、実際に数字を使いながら説明していきましょう。

例えば階級数が5つのヒストグラムを作る場合に、

「最低でも16はデータ数がないときれいな正規分布ができないよね？」

というのを数学的に導き出しているわけです。

ただこれだと先に階級数を決めなくてはならないので、実用的じゃないですよね。

知りたいのは”データ数に最適な階級数の目安”です。

そのため、

「階級数5つできれいな正規分布を作るなら、データ数は16ほしいな！」

という結果を逆算して

「データ数が16なら階級数は5つまでOKですよ！」

という風に変換しています。

これがスタージェスの公式の理論であり、証明です。

いかがでしょうか。

なんとなくイメージだけでも掴んでいただけると幸いです。

ただ数学的に階級数を導き出すスタージェスの公式にも、欠点があります。

それはデータを正規分布だと仮定している点です。

つまり、正規分布していないデータには当てはまらないということなんです。

ですので、スタージェスの公式はあくまでも”目安”として使うものだと考えています。

エクセルでスタージェスの公式を用いる方法

それではエクセルでスタージェスの公式を活用する方法をご紹介していきましょう！

エクセルで使うなら、データ数を入力した時に自動で最適な階級数を出してくれたら嬉しいですよね。

基本的にはスタージェスの公式（数式）を入れるだけなのですが、簡単にはいきません。

なぜなら数式にlogが含まれるからです。

スタージェスの公式は”1+log2n”でしたね。

このlog計算をエクセルに組み込むにはどうすれば良いのでしょうか？

実はエクセルにはlog関数というものが存在します。

この関数さえ知っていれば、使い方は簡単！

log2nを計算するなら、log(n,2)とするだけです。

そのためスタージェスの公式の計算結果を表示したいセルに

=1+log(データ数を記したセル,2)

と入力すればOKです。

簡単ですよね。

実際に入力するとこんな感じになります。

データ数を変えれば自動的に最適な階級数を計算してくれるため、大変便利です！

後はこれを目安にヒストグラムを作ればいいのですが、きれいなヒストグラムを作るのにもコツが必要です。

ヒストグラムをきれいにするためにコツがあるのはご存知ですか？

エクセルできれいなヒストグラムを作る方法については、こちらで紹介しています。

よければ一緒にご覧ください。

スタージェスの公式まとめ

最後にスタージェスの公式についておさらいをしましょう。

エクセルを使うことで簡単に最適な階級数が分かるため、スタージェスの公式は便利です。

ただし、あくまでも”絶対”ではなく”目安”だということは忘れないでください。

結局、いろいろな階級数を試してみて、自分が一番きれいと思った階級数が最良となる場合がほとんどです。

上手に活用していきましょうね！

あなたの手元に2群のデータがあったとき。

2群間の比較ではどんな統計解析をすればいいのか・・・

と、途方に暮れることがありますよね。

私も統計を仕事にする前の大学生のころ。

「このデータで何をすればいいのか・・・」と途方に暮れっぱなしでした。

しかし今では、データがあったときにやるべきことが整理されています。

そのため、今回の記事では私が今でも実践していることをすべてお伝えします。

2群間の比較の統計解析で、どんな検定やグラフを使えば良いのか、簡単にわかりやすく理解できます！

どんなデータがあったとき2群間の比較が必要？

まずは、どんなデータが２群のデータか。

「２群」というのは、「２種類」とか「２つの集団」とかに言い換えることができます。

つまり、比較したい２つの集団、ということですね。

例えば。

• 「男性」と「女性」で糖尿病発症率を知りたい
• 「プラセボ群」と「実薬群」で死亡率の違いを知りたい
• 「日本」と「アメリカ」で所得の違いを知りたい

これらの例では「男性と女性」「プラセボ群と実薬群」「日本とアメリカ」で違いを知りたいわけです。

知りたい集団が２つですよね。

だから、これらのデータは「２群」のデータと呼ばれます。

以下の表にまとめてみましたので、ご参照まで。

実際に２群間の比較では群間比較としてどんな解析をやるのか？

では２群のデータがどんなものか分かったところで、実際のデータ解析方法を学んでいきましょう。

私が２群のデータを解析するときには、基本的には以下のようなことをやります。

1. まずは各群のデータを確認する
2. 検定をする
3. 回帰分析をする

これだけです。

やること少ないですよね。

この記事の中では、検定と回帰分析を複数実施していますが、あくまで実際のデータでは「データをまとめる」ということを重視しています。

つまり、検証的試験のように、検定で0.05を下回るかどうか（有意差があるかどうか）は重要視していません。

あくまで検定結果は参考程度に見ます。

そのため、多重性に関しても考慮しておりません。

検証的な性質を持つデータ比較であれば、ちゃんと事前に解析計画を立て、多重性を考慮して解析を実施する必要がありますので、その点はご注意ください。

2群間の比較その1：まずはグラフや要約統計量などで各群のデータを確認

最終的には２群のデータを比較したいのですが、まずは各群のデータを確認することをやります。

例えば、「男性と女性で糖尿病発症率を知りたい」のであれば、「男性のデータを確認する」ことと「女性のデータを確認する」ということをやる、ということです。

具体的にどんな方法で確認すればよいのか？ということを知りたいですよね。

私はこれらをやります。

連続量の場合

1. 要約統計量を算出する
2. ヒストグラムを作成する
3. 箱ひげ図を作成する

カテゴリカルデータの場合

1. 分割表を作成する
2. 棒グラフを作成する

2群間の比較：要約統計量を算出する

連続量の場合、要約統計量を算出します。

平均値や中央値、標準偏差などですね。

男性と女性の2群データであれば、「男性」と「女性」の各群でそれぞれ算出します。

私であれば、以下のような表を作成します。

2群間の比較でグラフの作成：ヒストグラムを作成する

その次に、グラフを作成します。

要約統計量で、ざっくりとしたデータの把握ができました。

ですが、視覚的な情報があったほうが、データの把握をしやすいです。

そのため、データを視覚的に見ることができるように、グラフを作成します。

各群それぞれで作成します。

まずはヒストグラムですね。

ヒストグラムを作成することで、データの分布が分かります。

ヒストグラムで把握すべきことは、

• データが正規分布に近い形なのか。
• それとも、右（左）に裾を引いているのか。

そんなことを把握します。

2群間の比較でグラフの作成：箱ひげ図を作成する

もう一つのグラフである、箱ひげ図も重要です。

箱ひげ図を作成することにより、データの範囲や中央値や外れ値の有無まで分かってしまうので、かなり便利です。

この箱ひげ図も、各群それぞれで作成しましょう。

2群間の比較：分割表を作成する

データがカテゴリカルデータであれば、要約統計量の代わりに分割表を作成します。

分割表を作成すれば、各群の大まかなデータの数や割合がわかるようになります。

この分割表一つだけでかなりのことがわかりますので、ぜひとも作成しましょう。

2群間の比較：棒グラフを作成する

カテゴリカルデータであっても、可視化することは重要です。

そのため、棒グラフを作成しましょう。

以下のようなグラフですね。

縦軸に数や割合を表示するグラフです。

これも、分割表を視覚的に把握するのに役立つため、ぜひ作成しましょう。

2群間の比較その2：統計的検定を実施する（有意差があるかどうかは重要視しない）

各群のデータが把握できたところで、初めて検定をやってみます。

連続量のデータであれば以下の二つを実施します。

1. T検定
2. ウィルコクソン検定

カテゴリカルデータであれば、以下の二つを実施します。

1. フィッシャーの正確確率検定
2. カイ二乗検定

繰り返しですが、ここでの統計学的検定では検証的試験のように、検定で0.05を下回るかどうか（有意差があるかどうか）は重要視していません。

あくまで検定結果は参考程度に見ます。

そのため、多重性に関しても考慮しておりません。

2群間の比較：T検定の実施

連続量で２群の比較といえば、まずはT検定ですよね。

そのため、基本の検定としてT検定の知識は持っておいてください。

T検定は、各群の母集団データが正規分布に従っていることが前提の、パラメトリック検定です。

そのため、前述のヒストグラムを確認することは、T検定を実施する上でとても重要です。

2群間の比較：ウィルコクソンの順位和検定の実施

次は、ウィルコクソンの順位和検定を実施してみます。

ウィルコクソンの順位和検定はノンパラメトリック検定ですよね。

そのため、１つ前に実施したT検定結果と比較して以下のことを把握することができます。

反対に、T検定のP値とウィルコクソンの順位和検定のP値が大きく異なれば、データは正規分布に近くないということです。

その場合には、ウィルコクソンの順位和検定のP値を信頼しましょう。

2群間の比較：フィッシャーの正確確率検定、カイ二乗検定の実施

データがカテゴリカルデータであれば、検定は２つです。

フィッシャーの正確確率検定とカイ二乗検定。

２つの検定の使い分けですが、分割表を作成した際に５以下のセルがあれば、フィッシャーの正確確率検定を使います。

それ以外では、カイ二乗検定でOKです。

2群間の比較の解析：回帰分析を実施する

最後に、回帰分析をします。

回帰分析をする理由としては、単純な検定だけでは分からないことを知るためです。

単純な検定だけでは分からないこと、というのは具体的には「交絡」を気にしています。

交絡は、バイアスの一つですね。

交絡があることで、事実関係が歪んで出てきてしまうので、かなり注意が必要です。

交絡をはじめとするバイアスは、データを取得する際に気をつけるべきです。

しかし、交絡バイアスだけは、共分散分析で排除することが可能です。

共分散分析は回帰分析の方法の一つですね。

EZRで実際に2群間の比較解析する

これらの解析を、EZRを使って実際に解析してみると、かなり理解が進みます。

EZRとは無料の統計ソフトであるRを、SPSSやJMPなどのようにマウス操作だけで解析を行うことができるソフトです。

EZRもRと同様に完全に無料であるため、統計解析を実施する誰もが実践できるソフトになっています。

2019年5月の時点で英文論文での引用回数が2400回を超えているとのことで、論文投稿するための解析ソフトとしても申し分ありません。

EZRでカイ二乗検定とフィッシャーの正確確率検定を実施する方法は、こちらの記事を！

2群間の比較まとめ

私が２群のデータを解析するときの方法を余すことなく記載しました。

これらをやるだけで、ちゃんとした報告書やレポートができますので、ぜひ実践してみてください。

4. まずは各群のデータを確認する
5. 検定をする
6. 回帰分析をする

本記事は「教師あり学習と教師なし学習の違いは？具体例で解析の目的を整理する」ということでお伝えします。

教師なし学習・教師なし学習は、医療統計学というよりも、機械学習の分野に括られるかとは思いますが、その根底には統計学が用いられます。

この記事では

• 教師なし学習と教師なし学習の違いは？
• 教師あり学習の具体例
• 教師なし学習の具体例

ということでお伝えしますね！

教師あり学習と教師なし学習の違いは？

教師あり学習と教師なし学習の違いについて結論から述べると、「正解」を人間側が与えてコンピュータに何かしらの判断をしてもらうかどうかの違いです。

「正解」とは例えば何かといえば、

• このメールはスパムであり、このメールはスパムではないというラベル
• この人はがんに罹患していて、この人はがんに罹患していないというラベル

などです。

上記のような正解を与えてプログラムする＝教師あり学習と呼び、正解がない中でプログラムする＝教師なし学習、と呼んでいます。

教師あり学習とは？

教師あり学習とは上記の通り、人間側が正解を付与し、その正解に対するルール作りをプログラムに任せることです。

この時、ルールを作るデータのことを学習データ、と呼びます。

教師あり学習の場合、ルールを作るデータとは別のデータ（テストデータ）を確保して、作ったルールでテストデータがちゃんと分類できるかどうかが重要な問題になります。

つまり、正解・不正解が明確な問題の解決に利用できる学習手法ともいえますね。

結果として「正解率がXX%だった」「XX%の確率でがんに罹患する可能性がある」というような数値化が可能なのも教師あり学習の特徴です。

教師なし学習とは？

教師なし学習とは、正解のないデータに対して、分類をプログラムに任せることでした。

例えば、データの構造やパターンなどを抽出することが目的になるため、正解・不正解を問題にしていない点が特徴的です。

そして、分類した結果が合っているかどうかは確かめようがなく、結果を人間側が解釈して考察することが重要なんです。

教師あり学習の具体例

教師あり学習と教師なし学習の違いがわかったところで、教師あり学習の具体例を見ていきましょう。

教師あり学習の具体例1：受信した電子メールがスパム（迷惑メール）かどうかを自動判定する

例としては、受信した電子メールがスパム（迷惑メール）かどうかを自動判定する、ということにも教師あり学習が有効です。

実際には、以下の3つの手順で教師なし学習を実施します。

1. 過去に受信したメールにたいして、人間側が「通常のメール」と「スパムメール」の正解を付与した学習データを読み込ませます。
2. そして学習データでコンピュータがルールを作ります。
3. そのルールに従って「通常のメール」と「スパムメール」の正解を付与したテストデータをちゃんと分けることができればOK。

学習データでルール作りをした後に、「このルールは使えるのか？」という検証をテストデータで実施することが重要ですね。

そして、このメールはスパム、このメールは通常メール、という正解を付与しているため、作成したルールが問題ないかどうかは正解率という数字で数値化が可能です。

教師あり学習の具体例2：新築の住宅販売価格を、過去の実績に基づいて予測する

新築の住宅販売価格を、過去の実績に基づいて予測する際にも、教師なし学習が適用できます。

1. 過去の住宅販売価格の実績の70%を学習データとして読み込ませる
2. そして学習データでコンピュータがルールを作ります
3. 過去の住宅販売価格の実績の残り30%をテストデータとして読み込ませてどのぐらいの価格の差異があるかを評価する

手順としてはスパムメールの例と同じですね。

ただし今回の場合、住宅販売価格という連続量（量的データ）を扱っているため、数値化にはテストデータに対する「実績と予測値との差異」が数字として必要になります。

教師あり学習で重要なこと

すでにお伝えしていますが、教師あり学習で重要なことは「学習データ」と「テストデータ」の2種類を用意しておくことです。

なぜなら、学習データ全てを用いてモデルの構築行うと、そのデータには適合することができても、その後入ってくる未知のデータには全く合わないモデルが形成されてしまうことがあるからです。

このような問題を過学習（オーバーフィッティング）といいます。

この過学習を防ぐために、手元にあるデータを教師データとテストデータに分割してモデルの構築と予測を行う必要があるんです。

いわゆる、内的妥当性や外的妥当性を担保すること、という意味になります。

教師あり学習の具体的なアルゴリズムは？

教師あり学習がどんなものなのかがわかったところで、具体的なアルゴリズムをいくつか紹介します。

ここに挙げたものが全てではないですが、多くの場合にはこれらの中のどれかで実施していることが多いかなと思います。（ディープラーニングは除く）

1. 線形回帰：特にロジスティック回帰は医療統計で多用されます
2. サポートベクターマシーン（SVM）
3. ランダムフォレスト
4. 決定木
5. k近傍法（kNN）

それぞれの具体的な手法は別記事でお伝えしますね。

教師なし学習の具体例

では次に、教師なし学習の具体例を見ていきましょう。

教師なし学習の例：受信した電子メールのうち、文章の特徴が似ているか否かを導きグループ分けする

教師あり学習の場合、受信したメールを「スパム」「通常」と正解は人間側が付与していました。

しかし「どれがスパムか通常か分からない状況で、とにかくメールの特徴からグループ分けしたい」という場合には、教師なし学習を実施します。

特徴的なのは、グループ分けした結果に対して正解・不正解はなく、どのグループが何を示すのかは人間側が解釈することです。

主成分分析で算出された主成分が、どのような意味を持つのかは研究者側が解釈するのと同じですね。

教師なし学習の具体的なアルゴリズムは？

教師なし学習がどんなものなのかがわかったところで、具体的なアルゴリズムをいくつか紹介します。

ここに挙げたものが全てではないですが、多くの場合にはこれらの中のどれかで実施していることが多いかなと思います。

1. クラスタリング
2. 主成分分析
3. k平均法（k-means）

まとめ

いかがでしたか？

本記事は「教師あり学習と教師なし学習の違いは？具体例で解析の目的を整理する」ということでお伝えしました。

• 教師なし学習と教師なし学習の違いは？
• 教師あり学習の具体例
• 教師なし学習の具体例

ということが理解できたのなら幸いです！