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分かりやすい分割表

フィッシャーの正確確率検定とは?カイ二乗検定と何が違う?分割表の検定

分割表で出てくる検定は2つです。

それは、「カイ二乗検定」「フィッシャーの正確確率検定」

 

フィッシャーの正確確率検定は、フィッシャーの直接確率検定とも呼ばれますね。

でも、分割表の検定としてはフィッシャー正確確率検定の他にもカイ二乗検定があります

ではカイ二乗検定とは何が違うの?という疑問も出てきますよね。

 

そのためこの記事では、フィッシャーの正確確率検定の概要、そしてカイ二乗検定との違い、最後に計算式について解説していきます!

 

 

フィッシャーの正確確率検定でやっていることは、カイ二乗検定と一緒

フィッシャーの正確確率検定。

T検定とかF検定とかと比べると、やたら長い名前です。

その仰々しい名前から、「なんか難しそう・・・」とあなたは思っているかもしれませんね。

でも、まったく難しくないです!!

なぜならやっていることは、カイ二乗検定と一緒ですから。

詳しくはカイ二乗検定のページで見てほしいんですが、念のため少しだけ復習します。

カイ二乗検定もフィッシャーの正確確率検定も、以下のことをやっています。

 

  • 「結果の分割表」から、「期待度数を算出した分割表」を作成する。
  • 「結果の分割表」と「期待度数を算出した分割表」、2つの分割表がどれだけ違うかを、数値的に示す。

 

では、フィッシャーの正確確率検定とカイ二乗検定ではどこが違うの?

具体的にフィッシャーの正確確率検定と、カイ二乗検定の違いが知りたい!

と思いますよね。

当然です。

2つあるなら、どこか違う部分があるはず。

 

実はこの2つの検定、ある部分が違います。

 

“「結果の分割表」と「期待度数を算出した分割表」、2つの分割表がどれだけ違うかを、数値的に示す”の、数値の算出方法が違う

 

ここが違う部分です。

 

カイ二乗検定は、T検定と手順が同じ

カイ二乗検定がどのように数値を出しているかというと、次の手順で算出しています。

 

  1. χ二乗値を計算する
  2. χ二乗値と、χ二乗値の分布表を見比べてP値を算出する

 

つまり、T検定なんかと一緒です。

T検定は、T値と呼ばれる検定料を算出して、それをT分布表と見比べてP値を出します。

 

フィッシャーの正確確率検定は、分布表と見比べることをしない

一方、フィッシャーの正確確率検定はどうしているか。

その名の通り確率を「正確に」計算しています。

そして、ここで言う「確率」がP値のことです。

 

2つの検定方法で、多少P値が異なる

χ二乗検定は、P値を導き出すまでにχ二乗値を経由します。

そのため、近似した計算方法と言えます。

一方でフィッシャーの直接確率検定は、「直接」P値を算出します。

つまり、両者の方法で算出したP値は、多少違うのです。

 

 

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では、どっちの方法を取ればいいの?

2つの検定の違いがわかりました。

そうなると、使い分けが気になるところですね。

それは分割表基礎でお示ししたように、データ数が5以下のセルが一つでもある分割表では、フィッシャーの直接確率検定を推奨します。

 

例えば、以下のような分割表があった場合。

5以下のセルが一つもないため、χ二乗検定を使ってOKです。

 

一方で、以下のような分割表があった時。

女性の効果なし、のセルが3ですよね。

この場合には、フィッシャーの直接確率検定を使う必要があります。

 

 

なぜかというと、χ二乗検定は近似した方法のため、ある程度データ数が多い場合に、ちゃんとしたP値を出してくれるからです。

また、フィッシャーの直接確率検定は、膨大な確率計算をする必要があるため、計算力が必要になります。

現在のPCは高性能になりましたが、それでもデータ数が多い場合にはフィッシャーの直接確率検定は時間がかかります。

その使い分けの目安が、データ数が5以下のセルが1つでもあるかどうかです。

 

具体的なフィッシャーの正確確率の計算方法!

フィッシャーの正確確率検定とカイ二乗検定の違いがわかりました。

フィッシャーの正確確率では、P値を「正確に」計算しているのでしたよね。

では次に気になるのは、そのP値の計算方法。

ということなので、その計算方法を具体的な例を用いて解説します。

 

例えば、以下のような合計18人のデータからなる表があったとします。

 

  肉が好き 魚が好き 合計
女性 2 6 8
男性 5 5 10
合計 7 11 18

 

この表で、男性なのか女性なのか肉が好きなのか魚が好きなのかという2つの指標が、独立なのかどうかを検定したいとしましょう。

 

帰無仮説と対立仮説を整理する

検定の場合には、帰無仮説と対立仮説が必ずありますね。

この表の場合の帰無仮説と対立仮説は、このようになります。(片側検定を想定しています。)

 

  • 帰無仮説:「性別肉魚の好みは独立である(性別によって好みは変わらない)」
  • 対立仮説は「女性の方が魚が好きな傾向がある(性別によって好みに差がある)」

 

フィッシャーの正確確率の方針

まずは検定の方針を解説します。

例えば、以下の通りに「肉が好きな女性」のカテゴリの人数を仮にaと置きます。

すると、他の3つのカテゴリの人数もaと使って以下のように表すことができます。

 

  肉が好き 魚が好き 合計
女性 a 8-a 8
男性 7-a 3+a 10
合計 7 11 18

 

このときに、a=2が実際にどれぐらい珍しいことなのかを、確率を計算することによって評価します。

「a=2が珍しい」のであれば、計算結果の確率は小さくなるはずです。

 

フィッシャーの正確確率の計算式

帰無仮説は「性別と肉魚の好みは独立」ですから、「8人の女性と10人の男性、合わせて18人から、7人の肉好きがランダムに選ばれる」
という状況を想定します。

この時、3種類の計算をします。

 

  1. 「女性が2人選ばれて男性が5人選ばれる」ような確率を計算
  2. 「女性が1人選ばれて男性が6人選ばれる」ような確率を計算
  3. 「女性が0人選ばれて男性が7人選ばれる」ような確率を計算

 

数式としては、以下の通りですね。

1の場合の数式(P1)

2の場合の数式(P2)

3の場合の数式(P3)

 

この3つの計算式から得られた3つの数字(確率)を全て足し合わせます。

つまり、P=P1+P2+P3を求めます

ここで得られたPが、フィッシャーの正確確率検定のP値になります。

 

カイ二乗検定では、カイ二乗値を計算し、得られたカイ二乗値をカイ二乗分布表と見比べました。

そのため、P値を正確に計算するのではなく、近似したP値を得る方法、と言い換えることができます。

 

一方でフィッシャーの正確確率検定では、上記の計算の通りP値を「正確に」計算しています。

これが「フィッシャーの正確確率検定」と呼ばれる理由です。

 

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まとめ

  • フィッシャーの直接確率検定も、根本的にχ二乗検定とやっていることは同じ。
  • だが、P値を算出するための方法が違う。
  • データ数が5以下のセルが一つでもある場合には、フィッシャーの直接確率検定が推奨される。
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