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ポアソン分布とは?簡単にわかりやすく例を用いて二項分布との関係も解説

正規分布や二項分布、カイ二乗分布の他に、統計学でよく出てくる分布にポアソン分布が存在します。

ポアソン分布は、「ランダムに起きる事象」がある期間に何回起こるかの確率を調べるときに用いる分布です。

ポアソン分布とはどのような分布なのでしょうか。

この記事ではポアソン分布について簡単にわかりやすく説明していきます。

 

ポアソン分布とは?

ポアソン分布は、ある事象がある期間に生じる確率を表す分布です。

 

例えばある県内で、自転車事故が一日あたり、人口10万人あたり5件発生したとます。

では、人口10万人あたり1年間で生じる自転車事故の確率は、どうなるでしょうか。

 

このような問題はある”事象”を考えます。

上記の例で事象とは、「事故が生じるか生じないか」ということ。

 

このような考え方は、以前にも出てきました。

コインの表と裏のような物事を表す分布、二項分布でしたね。

 

ポアソン分布の事象はコインの表と裏のように、ある事象が起こるか、起こらないかの2通りあるで考えることができます。

そのため、ポアソン分布の基本となののは、二項分布の考え方です。

 

>>>二項分布とは?初心者にもわかりやすく正規分布に近似できる問題も解説

 

二項分布について、非常に簡単におさらいしていきます。

 

復習: 二項分布

二項分布はコインの表と裏のように2通りの結果が生じる事象を繰り返して行なったときの分布でしたね。

2通りの結果が生じる事象を繰り返して行うことをベルヌーイ試行と呼びます。

 

ここで一番、思い出して欲しいのは、

二項分布では期待値(平均)はとても簡単に計算できることです。

二項分布の期待値は

二項分布の期待値 = 試行回数 x 成功する確率 = n x p

でした。

 

>>>二項分布とは?初心者にもわかりやすく正規分布に近似できる問題も解説

 

先ほどの自転車事故の例では、

人口10万人あたりの一年間の事故の発生確率の期待値

=365日 x 人口10万人あたりの一日の事故の発生確率

と同じように求めることができます。

*ただし、冬場は事故が多いなどは無視して、1年中同じ確率で事故が発生すると仮定しています。

 

二項分布の分散は

二項分布の分散 = n x p x (1 − p)

でしたね。

この考え方がポアソン分布でも用いることができます。

 

ポアソン分布

ポアソン分布は、ある事象の起こりやすさがランダムで生じると仮定したときに、

「単位時間あたり平均λ回生じる事象が、単位時間にk回生じる確率」を表すのに用いる確率分布です。

先ほどの自転車事故の例では、

人口10万人あたりの一年間の事故の発生確率の期待値(λ)

=365日 (n) x 人口10万人あたりの一日の事故の発生確率 (p)

となります。

上の例のように、nが大きく、pが小さいときλは一定と考えることができます。

1年あたり車の通る台数(n)はかなり大きいですが、事故の発生確率(p)は小さいですからね。

このとき、ある期間でλ回発生する事象が、一定時間に回数k発生する確率がポアソン分布となります。

 

つまり、ポアソン分布はこのようにいうことができます。

ポアソン分布は、二項分布の試行回数nが十分に大きく、確率が非常に小さいとき、従う分布。

 

ポアソン分布の性質

次にポアソン分布の性質を説明していきます。

ポアソン分布も元は二項分布でしたよね。

そのため、k回生じたのkは整数の値をとります。

 

また、次に2つの性質があります。

  • ポアソン分布の期待値(平均)はλ
  • ポアソン分布の分散はλ

少しユニークですね。

 

期待値がλになるのは先ほど見た通りです。

分散がλになるのは、二項分布の分散、

二項分布の分散 = n x p x (1 − p)

から、考えることができます。

ポアソン分布の条件であるpが十分に小さいとき、

(1 − p) 〜 1

になります。

そのため、

ポアソン分布の分散 = n x p x (1 − p) = n x p x 1 = n x p = λ

となります。

 

さらに、ポアソン分布の最頻値はλ以下の最大の整数となります。

これは、λは整数以外の値をとるためです。

もし、λが整数ならλが最頻値をとります。

 

間違え注意: ピアソン

ポアソン分布とよく似た語幹の用語に、ピアソンがあります。

ピアソンは、ピアソンの相関係数でよく出てきます。

>>>相関係数とは?p値や有意差をどう解釈すれば良いのかわかりやすく!

たまに、ピアソンとポアソンを混乱することがあるので、気をつけましょう。

 

ポアソン分布はどのようなときに使うのか

ポアソン分布はどのようなときに出てくるのかを考えていきます。

ポアソン分布の例でよく出てくるのは、不運にも事故に遭遇する回数です。

また、病気に疾患する確率や、不良品の割合など、世の中で発生する様々な事象に用いられています。

そのため、とても実用的な分布です。

 

まとめ

  • ポアソン分布は、「単位時間あたり平均λ回生じる事象が、単位時間にk回生じる確率」をあらわっす
  • ポアソン分布の基本は二項分布の考え方
  • 二項分布でnが大きく、pが小さいときλは一定と考えることができ、このときポアソン分布に従う
  • ポアソン分布の期待値はλ
  • ポアソン分布の分散はλ
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