2018年11月に実施された統計検定2級の過去問解説です。

問題は、統計検定のHPにありますので、そちらからダウンロードしてください。

2018年6月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

2017年11月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

統計検定2級2018年11月の過去問：問１（１）

この問題で重要なことはただ一つ。

ということ。

これさえわかればOKです。

（ア）：100-(85.1+2.1) = 12.8%

（イ）：100-(76.6+17.0+2.1) = 4.3%

統計検定2級2018年11月の過去問：問１（２）

箱ひげ図の問題ですが、実は最大値に着目すれば解ける問題。

各年代の最大値は以下の通りですよね。

1952年の最大値：60校以上80校未満

1985年の最大値：100校以上120校未満

2017年の最大値：120校以上140校未満

ということで、箱ひげ図の縦軸のスケールに着目しましょう。

縦軸の一番大きい数字が70であるAが1952年

縦軸の一番大きい数字が100であるBが1985年

縦軸の一番大きい数字が140であるCが2017年

となります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問１（３）

四分位範囲とは、全データを小さい（大きい）順に並べて、下（上）から25%の点と75%の点の間のことをいいます。

箱ひげ図では、箱の部分が四分位範囲。

そのため、A,B,Cの順で四分位範囲が大きくなっていることが分かります。

そのため、Iは×。

1952年の最大値は60校以上80校未満、1985年の最大値は100校以上120校未満ですから、1952年の最大値は1985年の最大値の半分以下、というのは間違いです。

そのため、IIは×

箱ひげ図において、中央値は箱の中の横線です。

そのため、A,B,Cの順に中央値が大きくなっています。

そのため、IIIは〇。

統計検定2級2018年11月の過去問：問2

この問題で重要な知識は、相関係数は直線関係の指標である、ということ。

つまり、二次曲線の関係があったとしても、相関係数の絶対値は小さくなります。

“男性・正社員”では、50-54歳を頂点とした、放物線（二次曲線）の形をしています。前述の通り、相関係数は「直線関係」を表している指標です。そのため、このグラフは相関係数のみで判断してはいけません。

そのため、Iは〇。

“女性・正社員”についても、“男性・正社員”と同様に50-54歳を頂点とした放物線になっています。ですが、20-24歳から50-54歳までを見ると、比較的直線関係が見えています。ということであれば、69歳までの全体の相関係数よりも絶対値は大きくなるはず。

そのため、IIは×。

相関係数は、ｘが大きくなるとｙがどれだけ上がるか、ということを反映した指標ではありません。繰り返しになりますが、直線関係がどれほどあるか、という指標です。

そのため、IIIは×。

ちなみに、ｘが大きくなるとｙがどれだけ上がるか、ということを調べたい場合には、回帰分析を行います。

統計検定2級2018年11月の過去問：問3（１）

変化率は、以下の式で求めることができます。

前月からの変化率＝（求めたい月のデータ　-　前月のデータ）/前月のデータ×100

そのため、（ア）をxとすると、4.98=(111.7-x)/ｘ*100を求めればOKです。

ということで、106.4になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問３（２）

３項移動平均とは、軸となるデータ（今回の問題では2017年10月）と、その前後のデータの平均値です。

そのため、2017年9月、10月、11月の3つのデータの平均値になります。

つまり、（110.3+107.9+109.5）/3が正解です。

統計検定2級2018年11月の過去問：問4

ラスパイレス指数の計算式を知っていれば解ける問題です。

つまり、今回の問題だとこのような式になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問5

抽出に関する基本問題です。

I：◯

これは正しいです。

II：×

層の標本サイズが同じなら、層別しない抽出方法と同程度の分散を期待することができます。

ですが、標本サイズが違う場合には、平均値の分散は大きくなります。

III：◯

これは正しいです。

統計検定2級2018年11月の過去問：問6

このような、抽出を何段階かに分けて実施することを多段抽出と呼びます。

この問題では、２段階（市区町村と世帯）の抽出をしているため、２段抽出と呼びます。

統計検定2級2018年11月の過去問：問7（１）

抽出した箱が工場Aからのものである確率は、0.7である。

更に、この箱にカモノハシの絵がプリントされているのは0.02である。

ということは、抽出した箱がAであり、更にカモノハシの絵がプリントされている確率は、0.7×0.02=0.014である。

同様に、抽出した箱がBであり、更にカモノハシの絵がプリントされている確率は、0.3×0.08=0.024である。

よって、抽出した箱にカモノハシの絵がプリントされている確率は0.014+0.024=0.038となる。

統計検定2級2018年11月の過去問：問7（２）

条件付確率の定義は以下の通りです。

そのため、求める確率は次の通り。

統計検定2級2018年11月の過去問：問8（１）

ちょっとだけ難しい問題です。

ですが、まずは与えられた問題の通りに計算していきます。

で、ここからが頭を使うのですが、Uは平均0、分散1の正規分布に従います。

つまり、正規分布表を確認して、95%よりも大きくなるUの点を探します。

すると、Uが-1.64以上となる確率は95%と確認できます。

そのため、以下の等式を解けばよいということが分かります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問8（２）

問題文より、以下の通り。

95%点はUが1.64の時なので、以下の式となります。

つまり、一次方程式であることがわかりました。

直線関係のグラフは1なので、答えは１です。

統計検定2級2018年11月の過去問：問９（１）

計算が面倒なので、ミスに注意です。

まず、2以下の目が出る確率は1/3であり、それ以外の目が出る確率は2/3です。

7回サイコロを振ってx+1回だけ2以下の目が出る確率は、以下の通りです。

同様にして、x回だけ2以下の目が出る確率は、以下の通りです。

これを式展開すると、以下の通りになります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問9（２）

（１）で求めた式に0～7を代入してみます。

すると、ｘ＝２の時に最大になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問10

標本平均の期待値と、標準誤差の知識があれば一発で回答できます。

標本平均の期待値は、確率変数の期待値と一緒であるため、（ア）はμ。

標準誤差（標本平均の標準偏差）はσ/sprt(n)となるため、分散はその2乗。

つまり、σ2/nとなる。

統計検定2級2018年11月の過去問：問11（１）

歪度と尖度の問題です。

どちらも、正規分布の場合には０になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問11（２）

結構な難問でした。

確率変数Xが一様分布U(a,b)に従う時、平均値と分散は以下の定義です。

よって、一様分布U(-1,1)では、平均値が0,分散が1/3となります。

よって、問題文の歪度の定義から以下のように求めることができます。

また、尖度も同様に計算すると、-1.2となります。（計算式は割愛します）

統計検定2級2018年11月の過去問：問11（３）

I：×

逆です。

右に裾が長い分布では、歪度は正の値になり、左に裾が長い分布では、歪度は負の値になります。

II：×

こちらも逆です。

正規分布よりも尖っている分布では尖度は正の値に、正規分布よりも中心部が平坦な分布では尖度は負の値になります。

III：×

自由度が大きくなるにつれて、t分布は正規分布に近づきます。すなわち、尖度は0に近づくので、絶対値は小さくなります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問12

比率の信頼区間。

統計検定２級では、かなりの頻度で出題されます。

割合をpとして、信頼区間は以下の式で計算できます。（暗記しておいていいレベルです）

今回のデータを当てはめると、以下のようになります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問13

t統計量の基礎問題です。

サンプルサイズをn、母平均をμ、標本平均をx、不偏分散をs2とすると、t統計量は次の式から求められます。

よって、t統計量は値を代入して以下のようになります。

両側5%ということは、片側2.5%であるため、T分布表から自由度20-1=19の棄却域は2.093です。

そのため、棄却域＞T統計量なので棄却されません。

統計検定2級2018年11月の過去問：問14（１）

「分散が等しいかどうか」の検定は、F検定です。

覚えていただきたいのは２点。

「F統計量の式」と「自由度」です。

F統計量は以下の式で算出できます。

また、このときの自由度は以下の通りです。

そのため、自由度は29, 30となります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問14（２）

検定の多重性の問題です。

３つの検定をして「１つでも有意であればよい」ときの確率を求めます。

１つでも有意であれば良い、ということを直接計算するとややこしいので、逆転の発想をします。

それは、1-（１つも有意にならない確率）を求めるということです。

１つの検定のαエラーを5%とした時、有意にならない確率は1-0.05です。

つまり、以下の式を解けば良いです。

統計検定2級2018年11月の過去問：問15（１）

「不良品、不良品でない」という２値のデータですので、二項分布が当てはまります。

二項分布は統計検定２級では必ず出題されますので、必ず理解しておきましょう。

二項分布の平均値はnpで求めることができ、分散はnp(1-p)で求めることができます。

つまり、平均値はnp=200*0.05=10であり、分散はnp(1-p)=10*0.95=9.5となります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問15（２）

標本平均をp、母比率をp0、サンプル数をnとすると、以下の式から求めることができるz統計量は、標準正規分布に従います。

200個のうち、16個が不良品なので、標本平均は16/200となります。

そのため、z統計量は以下の通りです。

標準正規分布表を見ると、1.95より大きくなる確率は0.026であることがわかる。

統計検定2級2018年11月の過去問：問15（3）

２つの群の標本比率をそれぞれp1,p2とし、サンプルサイズをn1,n2とすると、次の式から求められるz統計量は、標準正規分布に従う。

ただし、pはプールした標本比率のこと。

問題文より、A社の標本比率は16/200=0.08であり、B社の標本比率は17/200=0.085です。そのため、プールした標本比率は、以下の通り。

よって、zは以下の通り。

標準正規分布より、-0.18より小さくなる確率は0.43であるため、両側検定ではその2倍である、0.86がP値になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問16（１）

適合度検定において、 カイ2乗統計量は以下の通り。

よって、これを満たしているのは１のみ。

統計検定2級2018年11月の過去問：問16（２）

カイ二乗検定の自由度は、カテゴリの数-1であるため、５です。

自由度5のカイ二乗分布における上側5%点は11.07となります。

１つ前の問題で１がカイ二乗統計量でしたので、2.59<11.07より、棄却されない、という結果になります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問17（１）

回帰分析の読み取り方です。

国の数（データの数）を読み取るには、自由度を読み取る必要があります。

自由度はdegree of freedomもしくは、DFと表記されます。

２通りの読み取り方があります。

１つ目は、Residual standard errorのdegree of freedomに着目する方法。

Residual standard errorとは、残差の標準誤差のことです。

この時の52 degree of freedomは、（データの数-説明変数の数-1）から算出されますので、52=X-2-1が成り立ちます。

そのため、X＝55となります。

２つ目は、F-statisticのDFに着目する方法です。

「2 and 52 DF」は、「説明変数の数 and 残差 DF」を示しています。

そのため同様に、52=X-2-1の関係式が成り立ちますので、X＝55となります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問17（２）

I：×

αの推定値はInterceptの行です。

説明変数のないパラメータは日本語では「切片」と呼び、統計ソフトではInterceptと表示されますので、覚えましょう。

そのため、αの標準誤差は113.7です。

II：◯

ここで重要なのがeの読み取り方です。

統計ソフトの出力でe+は10倍を示していますので、例えばe+02であれば、10倍の10倍、つまり100倍するということです。

一方で、e-は1/10するということを示していますので、例えばe-02であれば1/100するということです。

それを念頭におくと、全てのパラメータで0.05を下回ることがわかりますので、有意水準5%で0ではないという結果になります。

III：×

自由度調整済み決定係数は、Adjusted R-squaredを見ます。

すると、0.8141ですので、間違いです。

自由度を調整しない決定係数は、Multiple R-squaredになります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問17（３）

I：◯

人口密度（Population）の点推定値（Estimate）を見ると、マイナスの値になっています。

そのため、人口密度が高い国では、自動車普及率は低い傾向がある。

II：◯

１人当たりGDPの点推定値（Estimate）を見ると、プラスの値になっています。

そのため、１人当たりGDPが高い国では、自動車普及率は高い傾向がある。

III：◯

得られた推定値を回帰式に代入すると、450となる。

統計検定2級2018年11月の過去問：問18（１）

I：◯

残差の標準誤差²=残差平方和/(サンプル数-説明変数の数-1)という関係を知っているかどうか、という問題でした。

この方程式を解くと、0.608²×(5-1-1)=1.1となります。

II：×

単位を変えても、t値は変わりません。

III：◯

単位を変えると、推定値は変わります。

統計検定2級2018年11月の過去問：問18（２）

I：×

上記の問題と同様に、推定値は単位を変えれば変わります。

そのため、説明変数が不要かどうかは、推定値が0に近いかどうは関係ありません。

一般的には、P値を確認して判断します。

II：×

説明変数間の相関が高い場合には、多重共線性の問題が発生します。

標本サイズは関係ありません。

III：×

得られたP値（0.559）>有意水準（0.05）であるため、棄却されません。

統計検定2級2018年11月の過去問：問18（３）

I：×

説明変数の数が異なれば、得られる推定値は異なります。

II：◯

これはその通りです。

III：×

有意ではないため、xが1万円大きい時yが6.462万円小さくなる、ということはできません。

この記事では、2018年6月に実施された統計検定2級の過去問を解説しています。

問題自体はすでにダウンロードできないため、無料のメルマガ登録でプレゼントしております。

2018年11月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

2017年11月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！：問１（１）

３つの箱ひげ図から適切なものを選ぶ問題。

箱ひげ図に関しては、以下の図を参照ください。

また、偏差の定義は「個々のデータ-平均値」です。

標準化とは、「偏差/標準偏差」で示されます。（標準化後のデータをZで示すことが多いです。）

標準化することによるメリットは、標準化することで平均値0、標準偏差1の正規分布データになることです。

そのため、-2〜2の間に、95%のデータが入ることになります。（正規分布の性質です。）

I：標準化得点のグラフ

縦軸が-2〜2のグラフです。すなわち、標準化得点のグラフということです。

II：偏差のグラフ

縦軸が0を中心に、約-25～30の間に散らばっています。

すなわち、偏差のグラフを示しています。

III：総得点のグラフ

縦軸が20～80の間に散らばっています。

すなわち、総得点のグラフです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問１（２）

この問題では、標準化の性質を使います。

標準化することで、平均0、標準偏差１の正規分布のデータになります。

つまり、「標準偏差の２倍より離れた値があるかどうか」は、「標準化データのグラフで、-2より小さいデータまたは2より大きいデータ、があるかどうか」と言い換えることができます。

Iが標準化データのグラフですので、そこから読み取ると、１つだけ２より大きい外れ値があります。

そのため、１つ、という答えになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問２（１）

I：◯

横軸（人口）が大きくなればなるほど、縦軸（常設映画関数）が大きくなる傾向があります。

また、その傾向は直線に近いため、正の相関があると言えます。

II：◯

相関係数は外れ値の影響を受けやすいため、散布図を一緒に見る必要があります。

III：×

正の相関は見ることができました。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問２（２）

I：×

北海道は人口が500万人の付近にあります。

500万人の付近のデータだけを見ると、北海道は一番上にありますので、一般病院病床数は多いです。

II：◯

変動係数は標準偏差を平均で割ったものです。

人口1人当たりの一般病院病床数の変動係数は、一般病院病床数の変動係数よりも小さくなることが予想されます。

例えば、以下のようなデータがあったとします。（数値は適当です）

このとき、変動係数（CV）は以下のようになります。

1人あたりの病院数のほうが、CVが小さくなることがわかります。

III：×

人口が多い都府県に限っても、正の相関が見られます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問２（３）

I：◯

偏相関係数とは、第３の因子の影響を除いた相関係数のことです。

今回の場合、常設映画関数と一般病院病床数に関して、人口の影響を取り除いた相関係数を指しています。

II：◯

残差e1と残差e2の散布図を見ると、相関があるようには見えません。

つまり、人口の影響を除くと相関が見られなくなることから、常設映画関数と一般病院病床数の相関は、擬相関であったことがわかります。

III：×

病院と併設している映画館のデータはどこにもないため、ここからは読み取れません。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問３（１）

ローレンツ曲線とは、横軸に世帯（人口）の累積度数を、縦軸に所得の累積度数を示した曲線である。

ローレンツ曲線の特徴は、所得格差が存在しないなら45度線と一致し、所得に偏りがあると、曲線は下に膨らむ、ということ。

与えられた表は各階級の度数であるため、この表から累積度数分布表を作成する。

すると、以下のような表ができる。

この累積度数分布表と、曲線を見比べると、ドイツが当てはまっていることがわかる。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問３（２）

ジニ係数とは、「45度線とローレンツ曲線の面積の２倍」で計算できる。

すなわち、以下の図の枠で囲んだ部分の面積の２倍である。

赤い枠の面積を直接求めることができないため、以下のように0.5 – ( ① + ② + ③ + ④ + ⑤ )を計算する。

三角形と台形の面積の計算を５つ実施し、ジニ係数を求めると、0.28になる。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問３（３）

I：◯

どの国も45度線より下に曲線が描かれます。

II：×

ジニ係数が大きいと、格差が大きいことを表しています。

問題文は、説明が逆です。

III：◯

スウェーデンと中国を比べると、中国のローレンツ曲線が下に描かれます。

よって、中国の方が、格差が大きいということです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問4（１）

2011年の輸出物価指数の、前年からの変化率は以下の式で算出できます。

よって、以下のようになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問４（２）

問題文を解釈できたかどうかが鍵となる。

問題文を図示すると、以下の条件を満たすrを計算するということ。

ではまず、X1を計算します。

次に、X２を計算します。

と計算することができます。

ということは、あとは2015年までの変化率を計算していけば良いということです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問５

フィッシャーの３原則とは、「繰り返し」「局所管理」「無作為化」のことです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問６

抽出の問題は毎回必ずでてくるので、理解したいです。

今回の問題では、男女という「性別」というカテゴリごとに無作為抽出をしたい場合です。

この時カテゴリのことを「層」とよびます。

「層」は一般的にも使われていて、例えば「年齢層」という使い方をしますよね。

そのため、層化（層別）抽出といいます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問７（１）

まず、お菓子をもらえる条件は「２回連続で勝つ」ということ。

つまり、お菓子がもらうためには、以下のうちいずれかの場合。

1. 1回目と2回目に勝つ：確率はpq（独立なので、そのまま掛けて良い）
2. 1回目負けて、２回目と３回目に勝つ：確率は(1-p)pq

そのため、お菓子がもらえるのは上記の２つを足したもの。

pq+(1-p)pqが正解。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問7（２）

T-U-Tでお菓子をもらえる確率は、（１）で計算できました。

では、U-T-Uでお菓子をもらえる確率を計算してみます。

• と同様に計算すると、qp+(1-q)qpとなります。

では、「pq+(1-p)pq」と「qp+(1-q)qp」ではどちらが大きいでしょうか。

２つの違いは、1-pと1-qのみです。

問題文よりp<qですので、1-p>1-qとなります。

つまり、T-U-Tの順番の方がお菓子をもらいやすいということがわかります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問8（１）

まず必ず知っておきたいのが、正規分布の性質。

正規分布は「平均値（μ）」と「標準偏差（SD）」の２つで形が決まります。

そして、μ±SDの間には、約68%のデータが含まれています。

μ±2SDの間には、約95%のデータが含まれています。

そして、もう一つ知っておきたいのが、標準化。

問１でもさらっと出てきましたが、ここでもおさらいしましょう。

標準化をすることで、平均0、標準偏差1の正規分布（標準正規分布）のデータにすることができます。

以上の２点を知ったところで、問題です。

4,800円を標準化のデータに直します。

すると（4800-4000）/500=1.6となります。

つまり、標準正規分布で1.6以上となる確率はどれぐらいか？と問われているのと一緒です。

標準正規分布表は問題の最後の方についておりますので、1.6以上がどのぐらいの確率かを確認します。

0.548なので、0.55が正解です。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問8（２）

この問題も、与えられた数字をZに直して、標準正規分布表と見比べる、ということをします。

つまり、最終的には以下の式に代入します。

ここで問題なのが、「今年6月と昨年6月の差の標準偏差」はどう求めるのか、ということ。

これは、分散の定義から計算します。

このように求めることができるので、最終的には以下の式になります。

ということで、また標準正規分布と見比べて、答えは0.129となります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問8（３）

難しそうに見えて、簡単な問題です。

3年分の電気料金は独立なので、その大小関係が出る確率はそれぞれ等しいです。

つまり、３年分のデータの並び順は3!=3*2*1で6通り。

そのうち、今年が一番大きい組み合わせは「前々年＜前年＜今年」と「前年＜前々年＜今年」の2通り。

つまり、2/6=1/3が正解。

問９（１）統計検定2級2018年6月の過去問解説！

平均、分散、共分散、相関の４つの定義をおさらいしましょう。

こちらの４つの定義は、暗記したほうが良いです。

これを知っていれば、あとは当てはめるだけです。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問９（２）

少々複雑に思いますが、こちらの問題も上記の定義がわかっていれば解ける問題です。

計算間違いさえしなければ解くことができます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問10（１）

95%信頼区間の知識と、ちょっとした応用力が必要な問題でした。

まず、95%信頼区間は以下の式です。

95%信頼区間の定義がわかっていれば、あとは与えられた問題文を上記の式に近づけます。

かなり、95%信頼区間の式に近づきました。

そして、上記の式と95%信頼区間の式と見比べます。

よって、あとは計算していきます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問10（２）

n=20が与えられたとき、T分布に従います。

つまり、95%信頼区間は以下のような式になります。

T分布表より、自由度19のt_0.025は2.093です。

あとは、与えられた数字を代入します。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問11（１）

比率の信頼区間。

統計検定２級では、かなりの頻度で出題されます。

割合をpとして、信頼区間は以下の式で計算できます。（暗記しておいていいレベルです）

今回のデータを当てはめると、以下のようになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問11（２）

母比率の推定値は以下の式で計算することができます。

そして、標準誤差の算出には、問９で出てきた分散の定義を使います。

つまり、以下のようになります。

ここまでできたらあとは、標準誤差（Standard Error, SE）とは何か？がわかっていれば解くことができます。

データの標準誤差とは、推定値の標準偏差のことです。

ここはぜひ理解しておきましょう。

つまり、上記の分散をルートすれば、そのまま標準誤差になります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問12（１）

T検定の基礎知識を問う問題です。

2群のT検定の際のT統計量は以下の式で計算できます。

これは暗記していいレベルです。

そして、プールした分散とは、以下の通りです。

これがわかれば、あとは計算ミスしないようにするだけ。

計算式は割愛しますが、セリーグの不偏分散は以下の通り。

パリーグの不偏分散は以下の通り。

よって、t統計量は以下の通りになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問12（２）

分散分析のF値を問う問題です。

分散分析表を思い浮かべられるかどうかが鍵です。

分散分析表は以下の通りです。

つまり、F値を算出するには群の分散と、残差の分散が必要です。

そのために、まずはそれぞれの平方和を算出します。

ここまでくれば、あとは分散分析表の通りに当てはめるだけです。

自由度に関しては、こちらの記事をご確認ください。

[blogcard url=”https://best-biostatistics.com/contingency/degree-freedom.html”]

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問13（１）

まず、問題文を可視化してみます。

H０（帰無仮説）とH１（対立仮説）の数字が与えられていますので、それをそのままグラフにします。

（１）ではX≦3としていますので、以下の通りの棄却域になります。

そして、第１種の過誤、第２種の過誤、検出力の用語を整理します。

• 第１種の過誤：棄却域での帰無仮説下（H０）の累積確率
• 第２種の過誤：棄却域ではない部分での対立仮説（H１）の累積確率
• 検出力：1-第２種の過誤

よって、第１種の過誤は0.1+0.1+0.1=0.3となります。

第２種の過誤は0.05+0.05=0.1となります。

検出力は1-0.1=0.9となります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問13（２）

X≦２が棄却域の場合と、X＝６が棄却域の場合、第１種の過誤、第２種の過誤、検出力はそれぞれ以下の通り。

有意水準とは、第１種の過誤とほぼ同じ意味です。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問14（１）

回帰分析の読み取り方です。

問題文で与えられた回帰式に、出力結果を当てはめると以下の式になります。

ここに、問題文の数字を当てはめます。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問14（２）

回帰分析の結果から、t統計量を求める式は以下の通り。

よって、値を代入するとこのようになる。

計算結果のt統計量を、t分布表と見比べる。

自由度は回帰分析結果のResidual Standard Errorを見る。

43degree of freedomとあるため、自由度40のt分布表を確認する。

すると、得られたt=1.915は両側10％と両側5%の間のt値に相当する。

そのため、両側10%であれば棄却される。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問14（３）

I：◯

Interceptとlog（賃金）の２つが有意水準1%で0ではない。

II：×

Log（賃金）の推定値は正の値であり、有意水準1%で0ではない。

そのため、賃金が上がると犯罪発生率は上がる傾向にある。

III：◯

自由度調整済み決定係数は、回帰分析結果のAdjusted R-squaredの値である。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問15（１）

分割表の基本的な知識を問う問題。

与えられた表から期待度数の表を作成すると、以下のようになります。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問15（２）

カイ二乗値は、以下の式で求めることができる。

よって、数字を代入すると以下の通り。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問15（３）

分割表の自由度は、(行の数-1)*(列の数-1)で計算できる。

よって、2*2分割表の場合の自由度は1である。

カイ二乗分布表より、自由度１のときに0.05となるカイ二乗値は3.84

また、（２）より計算されたカイ二乗値は69.04である。

69.04>3.84であるため、風向と季節には関連があると言える。

統計検定2級2018年6月の過去問解説！問16

F値の求め方は、以下の通り。

また、自由度（20, 40）の両側5%のF統計量は下記の通り2.068となる。

1.81<2.068であるため、棄却されない。

今回の記事では、2017年11月に実施された統計検定2級の過去問を解説します。

問題を無断で貼り付けることができないため、実際の問題については、問題集をご購入ください。

2018年11月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

2018年6月に実施された統計検定2級の過去問の解説もしています。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１（１）

この問題で重要なことはただ一つ。

相対度数をすべて足すと、100%（割合の場合は１）になる

ということ。

これさえわかればOKです。

100-(0.93+5.25+35.80+38.27+5.25+0.62) = 13.88%

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１（２）

1: ×

滞在日数が1週間未満であるということは、（A）と（B）の階級を足した割合のことである。最も高いのは韓国である。

2: ×

もっとも割合が高い階級は（C）である。

3: ×

（C）の階級で50%以上の割合がいる。

4: ×

（A）と（B）を加えると、90%を超える。

5: ◯

累積度数（上から足した度数）が50%を超える階級がフランスでは（D）であり、その他の国は（B）か（C）である。そのため、中央値がもっとも大きい国はフランスである。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１（３）

縦軸に注目する。

米国では、（C）の階級が50%を超えているため、１か２のグラフのいずれかであることがわかる。

また、（C）の両隣である（B）と（D）が19%と18%という、ほぼ同じ割合であることから、１が該当する。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問２（１）

相関係数と散布図のグラフの対応を読み取れるかどうかが 鍵になる。

まず、開花日と平均気温は相関係数が-0.789である。

強い負の相関が見られることから、Iが平均気温の散布図であることがわかる。

降水量の合計の相関係数は正であり、日照時間の合計の相関係数が負であることから、IIが降水量の合計、IIIが日照時間の合計であることが読み取れる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問２（２）

t値は、回帰分析の係数を標準誤差で割ったものである。

そのため、標準誤差をsとすると、以下の数式で解くことができる。

よって、s=0.3036となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問２（３）

回帰係数の表と問題文から、以下の数式をイメージできたかどうかが鍵になる。

この数式を解くと、開花日は3.17となり四捨五入して3日である。

3月31日が0であるから、3日は4月3日となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問３（１）

中央値を求めるためには、データを小さい順に並べ替える必要がある。

キャベツのデータを並べ替えると、以下のようになる。

この時の真ん中の値が中央値になる。

データの数が偶数であるため、中央値は真ん中２つのデータの平均値である。

よって、(213+215)/2=214となる。

変動係数は、標準偏差/平均値であるから、56/214.2=0.261となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問３（２）

外れ値に注目する。

箱ひげ図より、キャベツのデータは大きい方に外れ値が２つある。

また、ビールのデータは、大きい方に外れ値が１つある。

そのため、キャベツのヒストグラムはIIIであり、ビールのヒストグラムはIIであることがわかる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問３（３）

この問題で重要なのが、コレログラムの読み取り方。

ある時点のデータAと、そこから時点をずらしたデータB（ラグ）があったとき、AとBの数値を用いて、自己相関係数を算出することができます。

コレログラムとは、横軸にラグを時系列的に示し、縦軸に自己相関係数を示したもの。

コレログラムを使えば、データに周期性（例えば季節変動など）があるかどうかを調べることができます。

I：◯

コレログラムから、キャベツの価格における１年後（１２ヶ月後）との相関は5%棄却限界値より大きく、ビールの価格における１年毎の相関は5%棄却限界値より小さい。

II：◯

コレログラムから、ラグ１の自己相関係数が0.5あり、5%棄却限界値より大きい。

ラグ１の自己相関係数は各月の価格とその翌月の価格の相関係数を表す。

したがって、ある月の価格が平均より高ければ、その翌月の価格も平均より高い傾向があることがわかる。

III：×

コレログラムは、１つの時系列の時間的相関を表すグラフである。

したがって、２つの時系列間の時間的な相関を見ることはできない。

よって、キャベツとビールの価格の時間的相関関係を読み取ることはできない。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問４（１）

ラスパイレス指数の計算式を知っていれば解ける問題です。

つまり、今回の問題だとこのような式になります。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問４（２）

価格指数のグラフを見ると、1970年〜1980年には10%を超えるプラスの変化がある。

そのため、１か３が該当する。

また、1990年以降は、マイナスの変化もあることから、全てプラスの変化率である１は間違いである。

よって、３が該当する。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問５

抽出に関する基本問題です。

I：◯

これは正しいです。

II：×

多段抽出法は、コストは削減できるが偏りが生じやすい抽出法です。

例えば全国の世帯調査の際に、１段目に都道府県を抽出し、２段目に市町村を抽出する、というやり方が多段抽出法の例です。

１つの市町村だけを調査するためコストが削減できますが、その市町村が全国の世帯の代表データになるため、偏りが生じている可能性があります。

III：◯

これは正しいです。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問６

実験研究と観察研究の違いは、実験者が介入するものを決めている場合が実験研究で、 被験者自らが介入を選び実験者はそれを観察するだけという場合が観察研究である。

1: 実験研究

新薬か対照薬かは、実験者がランダムに割り当てている。

2: 実験研究

アサガオの育成条件を、実験者が決めている

3: 観察研究

健康食品を食べるかどうかは、参加者が決めている。

4: 実験研究

どちらの部屋に入るか、実験者が決めている。

5: 実験研究

スピードの条件は、実験者が決めている。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問７

問題を解く上で必要な知識は、条件付き確率である。

問われているのは、おもちゃが不良品だった場合に、工場Aで生産されていた確率であるから、数式にすると以下の通り。

おもちゃが工場Aで作られ不良品である確率は0.6*0.01である。

また、おもちゃが工場Bで作られ不良品である確率は0.4*0.005である。

よって、P(不良品)は0.6*0.01+0.4*0.005である。

P(工場A∩不良品)は0.6*0.01である。

よって、以下の計算式になる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問８（１）

確率の定義の一つに「全て足すと１になる」という性質があります。

確率密度関数f(x)が与えられた時、積分をすると確率密度関数の面積が求まります。

その面積が「全て足すと」に該当するため、今回の問題では以下の数式を満たします。

これを計算していけば良いです。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問８（２）

平均値と分散の定義通りに計算する問題です。

以下の数式は暗記しておきましょう。

与えられたf(x)を使って、まずは平均値を求めます。

次に、分散です。

その前にE[X²]を計算しておきます。

よって、分散は以下の式になります。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問９（１）

問題文の各式は、（ア）カイ二乗分布、（イ）t分布、（ウ）F分布の式である。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問９（２）

YがF分布の定義に従っていることに気づきましょう。

その上で、Yは自由度（20, 10）のF分布に従っています。

しかし、F分布表では「上側パーセント点」しか与えられていませんが、問題文はY≦αより、「下側パーセント点」を求められています。

そのため計算を工夫し、1/Yが自由度（10, 20）のF分布に従うことを利用します。

F分布表より、1/a=2.348となるため、a=1/2.348です。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１０（１）

まず必ず知っておきたいのが、正規分布の性質。

正規分布は「平均値（μ）」と「標準偏差（SD）」の２つで形が決まります。

そして、μ±SDの間には、約68%のデータが含まれています。

μ±2SDの間には、約95%のデータが含まれています。

今回は、60点以上の確率であるため、以下の式を満たします。

(1-0.68)/2=0.16

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１０（２）

60点以上取る確率は0.16であり、60点未満を取る確率は0.84であるため、5人中１人が60点以上取る確率は以下の通り。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１０（３）

Y=(X₁+…+X₅)/5とした時、Yは平均値50、標準偏差10/√5に従う。

ちなみに、SD/√nは標準誤差とも呼ばれる。

よって、標準正規分布に従う確率変数をZとするとき、以下の数式で計算することができる。

標準正規分布表より、0.45となる点は0.173であるから、0.5-0.173=0.327となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１１（１）

パラメータがλのとき、ポアソン分布の平均値はλ、分散もλである。

よって問題文から、分散の推定値は518/365である。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１１（２）

1日に事故が発生しない確率は、P(X=0)を計算すれば良い。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１２（１）

データの数を知るためには、自由度を読み取る必要があります。

自由度はdegree of freedomもしくは、DFと表記されます。

２通りの読み取り方があります。

１つ目は、Residual standard errorのdegree of freedomに着目する方法。

Residual standard errorとは、残差の標準誤差のことです。

この時の199 degree of freedomは、（データの数-説明変数の数-1）から算出されます。

この問題では、説明変数はlog(販売価格)の１つだけです。

そのため、199=X-1-1が成り立ちます。

よって、X＝201となります。

２つ目は、F-statisticのDFに着目する方法です。

「1 and 199 DF」は、「説明変数の数 and 残差 DF」を示しています。

そのため同様に、199=X-1-1の関係式が成り立ちますので、X＝201となります。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１２（２）

回帰係数の検定統計量は、t統計量を用います。

帰無仮説をβ₀とし、得られた回帰係数の推定値をβ₁、その標準誤差をSE

とすると

で求めることができる

よって、t統計量は値を代入して以下のようになります。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１２（３）

出力結果を回帰モデルに当てはめると、以下のようになる。

log(販売数量) = 7.92546 – 4.89615 * log(販売価格)

I：◯

正しいです。

回帰係数の解釈としては、説明変数（今回の問題ではlog(販売価格)）が1大きくなった場合に、応答変数（今回の問題ではlog(販売数量)）がどれだけ変動するか、を示した数値です。

II：◯

正しいです。

logは単調減少、単調増加するため、Iのとおり販売価格が大きくなると販売数量は小さくなります。

III：×

上記の回帰モデルに数値を当てはめます。

すると9.39となるため、誤りです。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１３（１）

母比率の95%信頼区間の問題です。

統計検定２級では頻出の問題なので、解き方はしっかり理解しておきましょう。

「非常に関心がある」かそうではないかは、二項分布に従うと考えられます。

そのため、推定値はpであり、分散はp(1-p)で求めることができます。

問題文より、pは0.483です。

また、母比率の95%信頼区間は「推定値±1.96*標準誤差」で求めることができます。

この時、標準誤差は「（分散/データ数）のルート」で求めることができます。

以上より、95%信頼区間の式は以下の通りになります。

これを求めると、[0.461, 0.505]となる。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１３（２）

差の95%信頼区間は以下の数式で解くことができる。

よって、この数式に与えられた問題文の数値を代入する。

これを解くと、95%信頼区間は[0.036, 0.098]となる。

95%信頼区間が0を含まないため、有意水準5%で母比率の差は0でないと言える。

よって、有意水準5%で変化したと言える。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１４

I：×

対立仮説が正しい時、帰無仮説を棄却する確率を検出力という。

II：◯

その通り。

III：◯

P値は確率であるため、確率の性質上１を超えることはない。

P値、有意水準、有意差の使い分けに関してはこちらの記事を参照してください。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１５

適合度検定において、 カイ2乗統計量は以下の通り。

いま、問題文で与えられている数値を２つの表にしてみる。

１つは、50人がくじを引いた時、本当に１等が20%、２等が30%であったときに、期待される人数の表。

以下の通りになる。

もう１つが、観測されたデータの表。

以下の通りになる。

この２つの表から、カイ二乗値を計算する。

このとき、データの表の自由度は2である。

付表から、自由度2のカイ二乗分布の上側5%の値は5.99である。

よって、得られた値の方が小さいため、帰無仮説は棄却されない。

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１６（１）

全体の平均は以下の式で求めることができる。

よって、与えられた表から数字を代入すると

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１６（２）

難問です。

回帰分析でのF値は以下の数式で求めることができます。

今回のデータでは６カ国あるため、水準間の自由度は6-1=5

残差の自由度は、83-5-1=77となります。

これらを踏まえて、F値を数学記号をつかって表現すると

統計検定2級の過去問解説（2017年11月）：問１６（３）

I：◯

出力結果より、P値は1%より小さい。

よって、F値は上側1%点のF値より大きい。

II：×

99%信頼区間は以下のように求めることができる。

よって、各地域の99%信頼区間を計算すると以下のようになる。

例えばアジアの99%信頼区間は[118, 302]であり、ヨーロッパの99%信頼区間は[459, 581]であるため、重ならない。

III：×

出力結果から、P値は5%より小さい。