分割表の解析で出てくる検定は2つです。

それは、「カイ二乗検定」と「フィッシャーの直接確率検定」です。

（層別解析であるCMH検定もありますが、CMH検定は一旦置いておきます。。）

この記事では、そのうちのカイ二乗検定についてわかりやすく解説していきます！

「カイ二乗検定とは何？」から始まり、分割表からp値の計算式まで解説します！

計算式についても、「カイ二乗検定が何をやっているか？」がわかれば、簡単に理解できるようになります。

ぜひこの記事で「カイ二乗検定」についてマスターしましょう！

＞＞フィッシャーの直接確率検定についてはこちらで解説しています。

カイ二乗検定とはどんな検定？t検定との違いは？

カイ二乗検定は、統計学的検定の中でも最も有名な検定と言っていいですね。

カイ二乗検定とt検定は、どの統計の本をみても必ず掲載されています。

ではカイ二乗検定とt検定は何が違うの？

と言われた時に、あなたは答えられますか？

一言でいうと、このような違いがあります。

この違いが一番大きい違いです。

そのため、連続データに対してカイ二乗検定を実施することはできませんし、カテゴリカルデータ（質的データ）に対してt検定を実施することもできません。

カイ二乗検定とは、独立性の検定ともいわれている

カイ二乗検定は、独立性の検定ともいわれています。

（独立って言われても意味わからない・・・）

と思いますよね。

私も初めは全く分かりませんでした。

でも理解すると、文字通りのまんまだなー、と思えるでしょう。

独立を辞書で引くと、このような意味です。

つまり「独立」を言い換えると、「何かに依存していない」「何かに関連していない」ということです。

じゃあ、今回のカイ二乗検定の場合、何に関連していない状態か。

答えは、「2つの変数間で関連していない」ということ。

言い換えると「2つの変数が独立している」ということ。

「2つの変数」とは、行方向（横方向）の変数と、列方向（縦方向）の変数の二つ、ということです。

カイ二乗検定を例を用いてわかりやすく解説！

では実際に、例を挙げてカイ二乗検定でやっていることを簡単にわかりやすく説明します。

例えば、こんな分割表があったとします。

表１：薬剤群とコントロール群で治った人の数

薬剤群とコントロール群では1:1（20人：20人）に分けられた。

その結果、疾患が治った人と治らなかった人は、新薬群で13人と7人、コントロール群で5人と15人だった。

こんな結果の分割表ですね。

このとき、この2×2の分割表は４つのカテゴリを持つことになります。

４つとは、以下の通りです。

1. 薬剤群で治った人のカテゴリ
2. 薬剤群で治らなかった人のカテゴリ
3. コントロール群で治った人のカテゴリ
4. コントロール群で治らなかった人のカテゴリ

カイ二乗検定の例題：まずは期待度数の表を作る

この時、ある表を作ってみます。

一番右の列と一番下の列の数値から、4カテゴリで関連がなかった時の「期待度数」を算出した表です。

期待度数の算出は以下の通り。

例えば薬剤群で治った人のカテゴリに関する期待度数。

これは、全40人のうち、20人が薬剤群です。

そして、全40人のうち、薬剤群かコントロール群かに関わらず、治ったのは全部で18人。

だから、40×20/40×18/40=9人が、関連がなかったと仮定した時の、薬剤群で治った人の人数になります。

同様にしてほかのカテゴリの期待度数を計算すると、以下の分割表ができます。

表２：表１を基にした期待度数

この表2が「2つの変数が独立だった時の分割表」になります。

つまり、カイ二乗検定がやっていることはこのように言い換えられます。

ちなみにこのデータはP値が0.05を下回るので、独立ではない。

つまり、薬剤群かコントロール群かによって、治るか治らないかが違ってくる。

こんな結論になります。

カイ二乗検定の例題：カイ二乗値の計算式は？

ここから、カイ二乗値の計算式を解説します。

もし、カイ二乗検定の概要だけで知れればいい、ということであれば、ここから先は確認しなくてもOKです。

カイ二乗値は、各カテゴリで、以下の計算式で求めた値を全て足し合わせたものです。

つまり、先ほどのデータで表１と表２の差を計算していることになります。

この計算式をもとに各カテゴリで計算すると、以下のような表を作ることができます。

そしてカイ二乗値は、これら４つの値を全て足したもの。

1.78+1.78+1.45+145=6.46

この6.46が、カイ二乗値になります。

イェーツの連続性補正のカイ二乗値というものもある

実はカイ二乗値には、上記で示したものの他に「イェーツの連続性補正」をしたカイ二乗値というのもあります。

イェーツさんによれば、カイ二乗値とカイ二乗分布に小さなズレがあり、そのズレの影響で本来より有意差が出やすい結果になってしまうのではないかというわけです。

有意差が出やすいということは、本来有意差がないのに有意差があるという間違った結果が出るリスク(第一種の過誤、αエラー)が大きくなるということ。

αエラーが大きくなっちゃダメですよね。。

なので、それを補正するのがイェーツの連続性補正。

イェーツの連続性補正については、こちらの記事をご参照くださいませ！

カイ二乗検定でP値を算出するには、自由度を求めてカイ二乗分布表と見比べる

カイ二乗値が算出できれば、あとはカイ二乗分布表と見比べるだけです。

見比べる際には「自由度」の知識が必要になりますので、自由度についても学んでおきましょう。

自由度に関して結論だけ記載しておくと、m*nの分割表での自由度は(m-1)*(n-1)と計算されます。

つまり、2*2分割表であれば、(2-1)*(2-1)=1と計算できるのです。

前述の通り、このデータをもとに出力されるP値は、0.05を下回ります。

そのため結論は“独立ではない”、つまり、薬剤群かコトロール群かによって、治るか治らないかが違ってくる、というような結論になります。

カイ二乗検定を統計解析ソフトで実践したり動画で学ぶ

カイ二乗検定をEZRで実践する方法を、別記事で解説しています。

EZRとは無料の統計ソフトであるRを、SPSSやJMPなどのようにマウス操作だけで解析を行うことができるソフトです。

EZRもRと同様に完全に無料であるため、統計解析を実施する誰もが実践できるソフトになっています。

2019年5月の時点で英文論文での引用回数が2400回を超えているとのことで、論文投稿するための解析ソフトとしても申し分ありません。

これを機に、EZRで統計解析を実施してみてはいかがでしょうか？

＞＞EZRでカイ二乗検定を実践する。

また、SPSSやJMPでのカイ二乗検定の解析の仕方を解説していますので、是非ご覧ください。

＞＞SPSSでカイ二乗検定を実践する。

＞＞JMPでカイ二乗検定を実践する。

カイ二乗検定に関してまとめ

• χ二乗検定は、独立性の検定ともいわれている。
• χ二乗検定では、以下のことをやっている。
• 結果の分割表から、期待度数を算出した分割表を作成する。
• この２つの分割表がどれだけ違うかを、数値的に示す。

そして、Youtubeでもカイ二乗検定を解説しています。

この記事を見ながら動画視聴をするとかなり理解が促進しますので、是非ご利用ください。

分割表で出てくる検定は2つです。

それは、「カイ二乗検定」と「フィッシャーの正確確率検定」。

フィッシャーの正確確率検定は、フィッシャーの直接確率検定とも呼ばれますね。

でも、分割表の検定としてはフィッシャー正確確率検定の他にもカイ二乗検定があります。

ではカイ二乗検定とは何が違うの？という疑問も出てきますよね。

そのためこの記事では、フィッシャーの正確確率検定の概要、そしてカイ二乗検定との違い、最後に計算式について解説していきます！

フィッシャーの正確確率検定でやっていることは、カイ二乗検定と一緒

フィッシャーの正確確率検定。

T検定とかF検定とかと比べると、やたら長い名前です。

その仰々しい名前から、「なんか難しそう・・・」とあなたは思っているかもしれませんね。

でも、まったく難しくないです！！

なぜならフィッシャーの正確確率検定がやっていることは、カイ二乗検定と一緒ですから。

詳しくはカイ二乗検定のページで見てほしいんですが、念のため少しだけ復習します。

カイ二乗検定もフィッシャーの正確確率検定も、以下のことをやっています。

フィッシャーの正確確率検定とカイ二乗検定ではどこが違うの？

具体的にフィッシャーの正確確率検定と、カイ二乗検定の違いが知りたい！

と思いますよね。

当然です。

2つあるなら、どこか違う部分があるはず。

実はこの2つの検定、ある部分が違います。

ここが違う部分です。

カイ二乗検定は、T検定と手順が同じイメージ

カイ二乗検定がどのように数値を出しているかというと、次の手順で算出しています。

つまり、T検定なんかと一緒です。

T検定は、T値と呼ばれる検定料を算出して、それをT分布表と見比べてP値を出します。

フィッシャーの正確確率検定は、分布表と見比べることをしない

一方、フィッシャーの正確確率検定はどうしているか。

その名の通り確率を「正確に」計算しています。

そして、ここで言う「確率」がP値のことです。

フィッシャーの正確確率検定とカイ二乗検定では多少P値が異なる

χ二乗検定は、P値を導き出すまでにχ二乗値を経由します。

そのため、近似した計算方法と言えます。

一方でフィッシャーの直接確率検定は、「直接」P値を算出します。

つまり、両者の方法で算出したP値は、多少違うのです。

例えば、あるデータでカイ二乗検定を実施すると、下記のようにP=0.03767でした。

これと同じデータでフィッシャーの正確確率検定を実施すると、P=0.03683になります。

フィッシャーの正確確率検定とカイ二乗検定でどっちの方法を取ればいいの？

２つの検定の違いがわかりました。

そうなると、使い分けが気になるところですね。

それは分割表基礎でお示ししたように、データ数が5以下のセルが一つでもある分割表では、フィッシャーの直接確率検定を推奨します。

例えば、以下のような分割表があった場合。

5以下のセルが一つもないため、χ二乗検定を使ってOKです。

一方で、以下のような分割表があった時。

女性の効果なし、のセルが３ですよね。

この場合には、フィッシャーの直接確率検定を使う必要があります。

なぜかというと、χ二乗検定は近似した方法のため、ある程度データ数が多い場合に、ちゃんとしたP値を出してくれるからです。

また、フィッシャーの直接確率検定は、膨大な確率計算をする必要があるため、計算力が必要になります。

現在のPCは高性能になりましたが、それでもデータ数が多い場合にはフィッシャーの直接確率検定は時間がかかります。

その使い分けの目安が、データ数が5以下のセルが１つでもあるかどうかです。

（正確には、期待度数が5以下のセルが１つでもある場合なのですが、実際の解析で期待度数を算出することはあまりないため、目安として実際の分割表でのデータ数が5以下のセルが１つでもあるかどうか、ということでOKです。）

ただ、一つだけ勘違いしていただきたくないのは、「フィッシャーの正確確率検定は、データ数が大きい場合でも使える」ということ。

カイ二乗検定は「データ数が大きい時”だけ”使える検定」ですが、フィッシャーの正確確率検定は「データ数が小さくても大きくてもどちらでも使える」検定です。

フィッシャーの正確確率の計算方法を具体的にわかりやすく！

フィッシャーの正確確率検定とカイ二乗検定の違いがわかりました。

フィッシャーの正確確率では、P値を「正確に」計算しているのでしたよね。

では次に気になるのは、そのP値の計算方法。

ということなので、その計算方法を具体的な例を用いて解説します。

例えば、以下のような合計18人のデータからなる表があったとします。

この表で、男性なのか女性なのかと肉が好きなのか魚が好きなのかという２つの指標が、独立なのかどうかを検定したいとしましょう。

フィッシャーの正確確率検定の帰無仮説と対立仮説を整理する

検定の場合には、帰無仮説と対立仮説が必ずありますね。

この表の場合の帰無仮説と対立仮説は、このようになります。（片側検定を想定しています。）

• 帰無仮説：「性別と肉魚の好みは独立である（性別によって好みは変わらない）」
• 対立仮説は「女性の方が魚が好きな傾向がある（性別によって好みに差がある）」

フィッシャーの正確確率検定の方針

まずは検定の方針を解説します。

例えば、以下の通りに「肉が好きな女性」のカテゴリの人数を仮にaと置きます。

すると、他の３つのカテゴリの人数もaと使って以下のように表すことができます。

このときに、a=2が実際にどれぐらい珍しいことなのかを、確率を計算することによって評価します。

「a=2が珍しい」のであれば、計算結果の確率は小さくなるはずです。

フィッシャーの正確確率検定の計算式

帰無仮説は「性別と肉魚の好みは独立」ですから、「8人の女性と10人の男性、合わせて18人から、７人の肉好きがランダムに選ばれる」
という状況を想定します。

この時、３種類の計算をします。

1. 「女性が２人選ばれて男性が５人選ばれる」ような確率を計算
2. 「女性が１人選ばれて男性が６人選ばれる」ような確率を計算
3. 「女性が０人選ばれて男性が７人選ばれる」ような確率を計算

数式としては、以下の通りですね。

１の場合の数式（P1）

２の場合の数式（P２）

３の場合の数式（P３）

この３つの計算式から得られた３つの数字（確率）を全て足し合わせます。

つまり、P=P1+P2+P3を求めます。

ここで得られたPが、フィッシャーの正確確率検定のP値になります。

カイ二乗検定では、カイ二乗値を計算し、得られたカイ二乗値をカイ二乗分布表と見比べました。

そのため、P値を正確に計算するのではなく、近似したP値を得る方法、と言い換えることができます。

一方でフィッシャーの正確確率検定では、上記の計算の通りP値を「正確に」計算しています。

これが「フィッシャーの正確確率検定」と呼ばれる理由です。

フィッシャーの正確確率検定をEZRで実践する

フィッシャーの正確確率検定をEZRで実践する方法を、別記事で解説しています。

EZRとは無料の統計ソフトであるRを、SPSSやJMPなどのようにマウス操作だけで解析を行うことができるソフトです。

EZRもRと同様に完全に無料であるため、統計解析を実施する誰もが実践できるソフトになっています。

2019年5月の時点で英文論文での引用回数が2400回を超えているとのことで、論文投稿するための解析ソフトとしても申し分ありません。

これを機に、EZRで統計解析を実施してみてはいかがでしょうか？

＞＞EZRでフィッシャーの正確確率検定を実践する。

フィッシャーの正確確率検定に関してまとめ

• フィッシャーの直接確率検定も、根本的にχ二乗検定とやっていることは同じ。
• だが、P値を算出するための方法が違う。
• データ数が5以下のセルが一つでもある場合には、フィッシャーの直接確率検定が推奨される。

動画でもフィッシャーの正確確率検定に関してお伝えしていますので、ぜひご覧くださいませ！

カイ二乗検定は便利な検定で、ビジネスや研究などいろいろな場所で使われています。

基本的には2群間の割合の差を比較する時に使うカイ二乗検定ですが、

• 「3群以上の時はどうすればいいんだろう？」
• 「3群以上のカイ二乗検定をエクセルで計算する方法はあるの？」

と疑問に思う方も多いはずです。

本記事では、3群以上のカイ二乗検定をエクセルで行う方法や結果の解釈方法、解析時の注意点をご紹介します。

難しい計算式は使わずに、なるべく分かりやすく説明していきますね！

カイ二乗検定は3群以上の場合でもできる？

結論から言いますと、カイ二乗検定は3群以上の場合でもできます！

ただし2群で比較する時と比べて解釈の仕方が少し変わる点に注意が必要です！

どういった解釈をすればいいのかは、こちらの記事の後半で解説しますね。

カイ二乗検定はエクセルでも出来ますので、今回はエクセルを使った計算方法をご紹介します。

ちなみにEZRというフリー統計ソフトを使うとエクセルよりも楽にカイ二乗検定が実行できます。

こちらの記事でEZRを使ってカイ二乗検定を実行する方法を紹介していますので、興味のある方はぜひご覧ください。

カイ二乗検定をエクセルで2×3分割表の計算の仕方

では、2×3分割表のカイ二乗検定をエクセルで実施する方法をお伝えしていきます！

2×3分割表のカイ二乗検定をエクセルで実施する全体の流れ

エクセルでカイ二乗検定を実行する手順は、以下のようになります。

1. クロス集計表(2×3)を作る
2. 別に期待値のクロス集計表(2×3)を作る
3. CHISQ.TEST関数を使ってp値を算出

一つずつ順番に説明していきますね。

例として今回は「A区とB区とC区の住人に男女差があるかどうか、カイ二乗検定を行って確かめてみましょう」

クロス集計表(2×3)を作る

まずはクロス集計表を作りましょう。

「クロス集計表って何?」となる方もいると思いますので、クロス集計表を実際に作ってみますね。

A〜C区の住人の性別を集計したところ、以下のようになりました。

これがクロス集計表です。

一度は見たことがありますよね。

これでA〜C区の男女差が一目瞭然です。

次の手順で必要になるため、このクロス集計表に以下のように各列の合計値を追加しておきましょう。

別に期待値のクロス集計表(2×3)を作る

次に期待値のクロス集計表を作ります。

ここで「期待値って何？」となりますよね。

カイ二乗検定の期待値とは、”各群に差がなかった場合に本来なるべき理論値”のことをいいます。

たとえば「A〜C区の男女比が同じ」と仮定すると、各区の男女比が全体の男女比と同じになるはずですよね。

ただ実際は理論通りぴったり同じになることはありませんから、あくまでも”期待値”という表現をしているわけです。

ひとまずは“期待値”=”群間差がない場合に本来なるべき値”と捉えておきましょう。

この期待値のおかげで、期待値から外れれば外れるほど群間に差があるという判断ができるというわけです。

前置きが長くなりましたが、実際に期待値のクロス集計表を作っていきましょう。

まずは先ほどのクロス集計表を複製し、中身の値だけ消しましょう。

次に期待値をそれぞれ計算していきます。

期待値は”横列の合計”×”縦列の合計”÷”全体の合計”で計算できます。

A区の男性数の期待値は139×97÷262です。

全ての期待値を計算すると以下のようになります。

関数を使える方は上の図のように関数を作ると楽に計算ができますので、参考にしてください。

これで2つのクロス集計表ができました。

次はいよいよp値を算出してみましょう。

CHISQ.TEST関数を使ってp値を算出

p値の算出にはCHISQ.TEST関数を使用します。

下の図のように、好きなマスに”=CHISQ.TEST(実測値,期待値)”と入力しましょう。

最後にEnterを押すとp値が算出されます。

今回の例は0.05よりp値が大きいので、”各区の男女比に有意な差はない“という結論になります。

3群以上の比較にカイ二乗検定を行うと何がわかる？

3群以上でもカイ二乗検定を問題なく実施できることはわかりました。

重要なのは結果の解釈です。

3群以上のカイ二乗検定結果の解釈

3群以上の比較で有意差が出た場合、解釈に注意が必要です。

3群以上のカイ二乗検定では、比較した群の内どこか群間に差があることしか証明できないからです。

分散分析的な結果の解釈ですよね。

先ほどの例を使って説明していきましょう。

A区とB区、C区の男女比を比べるためにカイ二乗検定を利用し、有意差が出たとしましょう。

ただこの時A区とB区、B区とC区、C区とA区のどこに差があるのかまでは分かりません。

あくまでもどこかに有意差があるというのがわかるだけです。

では細かくどの群とどの群に差があるのか調べたい時はどうしたらいいでしょうか？

その場合は結局A区とB区、B区とC区、C区とA区で2×2のクロス集計表を作り、2群比較のカイ二乗検定を行う必要があります。

「なら最初から2群比較だけでいいんじゃないか？」

なんて声が聞こえてきそうですが、ビジネス等で使う分にはそれでも十分です。

ただし論文だと最初に全ての群で有意差が出ていることを編集者などから求められる場合があります。（私はそのような検定は不要だと思うのですが。。）

以上の理由から

「ひとまずどこかの群に差があるか確認したいだけ」
「論文で求められる可能性」

というケースでは3群以上のカイ二乗検定が役立ちます。

3群以上の比較をするときの注意点

先ほど細かく結果を見たいなら2群比較のカイ二乗検定が必要になることを説明しました。

さっそくカイ二乗検定をA区とB区、B区とC区、C区とA区の合計3回実行したいところですが、注意点があります。

検定の多重性の問題です。

簡単に説明すると、”繰り返し検定を実行する時はp値を厳しく設定しなければならない“という統計上のルールがあるということです。

ではどれくらい厳しく設定すればいいのでしょうか？

ここでは一番簡単なボンフェローニ法という手法を紹介します。

計算方法は簡単！有意水準を検定を実行した回数で割るだけです。

今回の例でいうと、0.05÷3=0.017が厳しく設定した有意水準になります。

3回検定した結果の内、どれかのp値が0.017を下回っていれば有意差ありと判断できます。

ただし、多重性の問題に対処するかどうかは研究の性質によります。

探索的研究であれば、Methodに記載した上で多重性に考慮しないP値を提示することでもOKです。

そのため、研究に応じて対処していただければ。

まとめ

最後におさらいをしましょう。

「カイ二乗検定は2群比較にしか使えない」

なんて誤解をしている方をたまに見かけます。

しかしそんなことは全くなく、理論上は何群あっても利用することができます。

また今回は2×3のケースを紹介しましたが、3×3などのクロス集計表でもカイ二乗検定は実行できます。

必要に応じて使い分けてみてくださいね！

最後までお読み頂きありがとうございました。

この記事では「マクネマー検定（McNemar検定）とは？カイ二乗検定との違いや計算方法を解説」ということでお伝えします。

• マクネマー検定とは？カイ二乗検定との違い
• マクネマー検定を例題を用いて解説！
• マクネマー検定をEZRでやるとどうなる？

ということについて解説しますので、マクネマー検定について理解が進めば幸いです！

マクネマー検定（McNemar検定）とは？カイ二乗検定との違い

マクネマー検定は「対応のあるデータ」に対する2*2分割表の検定手法です。

2*2分割表に対する検定手法としてはカイ二乗検定やフィッシャーの正確確率検定があるけど、どう違うの？？と思われるかもしれません。

ですが、カイ二乗検定やフィッシャーの正確確率検定は「対応のない」分割表に対する解析手法。

つまり、データの対応の有無の違いが、マクネマー検定とカイ二乗検定・フィッシャーの正確確率検定の使い所の違いになります。

マクネマー検定を例題を用いて解説！

では実際に、架空のデータでマクネマー検定を理解していきたいと思います。

今回は「ランニングを1ヶ月続けると肩こりが軽減するか？」という場合を想定。

100人のデータで、エクセルではこのようなデータです。

このデータに対して2*2分割表を作成すると、以下のようになります。

ランニング前と1ヶ月ランニングを続けた後のデータを、同じ人から取得している前提なので、対応のあるデータですね。

この時の帰無仮説と対立仮説は以下の通り。

• 帰無仮説：「ランニングが肩こりに影響なし」
• 対立仮説：「ランニングが肩こりに影響あり」

つまり、有意差が出たとすると「ランニングが肩こりに影響あり」という結論になります。

マクネマー検定の計算方法は？

マクネマー検定は、検定統計量c2を計算し、c2が自由度1のカイ二乗分布に従う、という前提で検定します。

＞＞マクネマー検定の統計量に対する参考サイト

では今回の例でc2を計算して自由度1のカイ二乗分布からP値を算出すると、以下の通りになります。

計算すると、統計量は4.694に、P値は0.03026になりました。

有意水準を0.05とすると有意差あり、ということですね。

手計算だとちょっと不安なので、EZRでも同じデータでマクネマー検定をしてみましょう。

マクネマー検定をEZRでやるとどうなる？

先程のデータを、EZRで計算してみます。

EZRでは「統計解析」＞「名義変数の解析」＞「対応のある比率の比較（二分割表の対象性の検定、McNemar検定）」で実施できます。

そして、行の変数に「ランニング前」を、列の変数に「ランニング後」を選択します。

そしてOKを押します。

すると結果が出力されます。

McNemar’s chi-squaredの検定統計量が4.96944であり、P値が0.03026となりました。

エクセルでの手計算と一緒の結果ですね。

まとめ

いかがでしたか？

この記事では「マクネマー（McNemar）検定とは？カイ二乗検定との違いや計算方法を解説」ということでお伝えしました。

• マクネマー検定とは？カイ二乗検定との違い
• マクネマー検定を例題を用いて解説！
• マクネマー検定をEZRでやるとどうなる？

ということについて理解が進んだのなら幸いです！

この記事では「多変量解析のAUCは何を意味する？個々の説明変数のカットオフ値は出せるか？」ということでお届けします。

ROC曲線から検査値のカットオフ値を求めることができるけど、そういえば多変量解析を実施したとしてもROC曲線って出力できるのだろうか？

多変量解析をした場合のカットオフ値って個々の説明変数のカットオフ値なのだろうか？

という疑問が出てくるかなと思います。

そこで本記事では

• 多変量解析のROC曲線から個々の説明変数のカットオフ値は出せるか？
• EZRで多変量解析のROC曲線とAUC算出

ということを具体的にお伝えしますね。

多変量解析のROC曲線から個々の説明変数のカットオフ値は出せる？

多変量解析でROC曲線を描き、そこからカットオフ値を算出する場合、個々の説明変数に対するカットオフ値は出るのでしょうか？

例えば、年齢と体重の2つを説明変数に入れてROC曲線を出力した場合のカットオフは、年齢50歳、体重60キロ、のように計算されるのでしょうか？

結論から言えば、多変量解析でROC曲線を作成したとしても、個々の説明変数のカットオフ値は出せません。

多変量解析のROC曲線やAUCって何を意味しているのか？

個々の説明変数に対するカットオフ値が出力されないのであれば、多変量解析のROC曲線やAUCって何を意味しているのかが疑問になりますよね。

多変量解析のROC曲線やAUCは、多変量解析で計算された「確率」に対するROC曲線とAUCが計算されています。

そのため、カットオフも「確率」のカットオフが出るのです。

多変量解析でのROC曲線やAUCの計算は、原理上はロジスティック回帰分析を実施しています。

ロジスティック回帰分析をするということは、アウトカムがYes/Noで示すことができる2値のカテゴリカルデータを扱うことになります。

そして、ロジスティック回帰分析を実施した結果として、アウトカムがYesになる確率を計算することができるのです。

アウトカムがYesになる確率を応用した方法が、傾向スコアマッチングですね。

多変量解析のROC曲線やAUCってどんな時に使える？

多変量解析のROC曲線やAUCは個々の説明変数のカットオフ値が算出してくれないことはわかりました。

では、多変量解析のROC曲線やAUCってどんな時に使えるでしょうか。

一つのアイデアとしては、多変量解析のモデルを「一つの検査」とみなしたときに使えるかもしれないな、ということです。

例えば、年齢・体重・性別の3つが説明変数で、ある疾患の有無が目的変数で多変量解析した時。

年齢・体重・性別の3つが分かれば、ある疾患になる確率を計算できることになります。

つまり、年齢・体重・性別の3つを使った一つの検査パッケージとみなせることに。

その検査パッケージのROC曲線・AUC・カットオフ値、ということであれば、多変量解析でROC曲線やAUCを算出する意味はありそうです。

EZRで多変量解析のROC曲線とAUC算出

では実際に、多変量解析のROC曲線やAUCを計算してみましょう。

EZRを使い、架空のデータで実施してみます。

多変量解析のROC曲線とAUC算出にはロジスティック回帰分析を実施する

まず、EZRでロジスティック回帰分析を実施します。

今回の目的変数と説明変数は以下の3つ。

• 目的変数：ある疾患の有無（2値のカテゴリカルデータ）
• 説明変数：年齢・HDL・性別の3つ

EZRでは「統計解析」→「名義変数の解析」→「二値変数に対する多変量解析（ロジスティック回帰）」で実施します。

• 目的変数で「Disease」を選択します。（変数をダブルクリックすることで選択できます。）
• 説明変数に「年齢」と「HDL」と「性別」を選択します。（こちらもダブルクリックです。）
• 「ROC曲線を表示する」にチェックを入れます。
• 「傾向スコア変数を自動作成する」にチェックを入れます。

これでOKです。

するとロジスティック回帰分析の結果とともに、AUCの値とROC曲線が出力されました。

多変量解析のROC曲線のカットオフ値は傾向スコア変数を使う

多変量解析のROC曲線とAUCは出力できました。

ロジスティック回帰をしただけではカットオフ値は出力されなかったので、多変量解析のROC曲線からのカットオフ値を求めましょう。

多変量解析のROC曲線からのカットオフ値を出力するには、ロジスティック回帰でチェックを入れた「傾向スコア変数」を使います。

先程ロジスティック回帰分析をした際に「傾向スコア変数を自動作成する」にチェックを入れましたので、データセット上に傾向スコア変数が格納されていることがわかります。

（PropensityScore.GLM.1が傾向スコア変数です。）

この傾向スコアを使って再度ROC曲線を描いてみます。

「統計解析」→「検査の正確度の評価」→「定量検査の診断への正確度の評価（ROC曲線）」を選択します。

その後、下記の画面で変数を選択します。

結果にDiseaseを、予測に用いる値にPropensityScore.GLM.1を選択します。

あとは何もいじらなくてOK。

すると、下記のようなAUCとROC曲線が出力されました。

AUCは、ロジスティック回帰分析と同じ0.633が出力されていることがわかります。

そしてROC曲線には、カットオフ値である0.618が出力されています。

繰り返しになりますが、このカットオフ値は多変量解析で計算された「確率」に対するROC曲線とAUCが計算されています。

説明変数である年齢・HDL・性別の3つそれぞれに対するカットオフではないことがわかりますね。

まとめ

いかがでしたか？

この記事では「多変量解析のAUCは何を意味する？個々の説明変数のカットオフ値は出せるか？」ということでお届けしました。

• 多変量解析のROC曲線から個々の説明変数のカットオフ値は出せない。あくまで確率のカットオフ値が出ている。
• EZRで多変量解析のROC曲線とAUC算出

ということが理解できたのなら幸いです！

この記事ではオッズ比とは？について、簡単にわかりやすく解説します。

オッズ比と相対危険度（相対リスク、リスク比）は、統計を学んでいくと必ずといっていいほど出てくる用語なので、恐らくあなたも一度は目にしたことがあるかもしれませんね。

ですが、オッズ比や相対危険度（相対リスク、リスク比）のことを、ちゃんと説明できるか？と言われたら、かなり難しいのではないでしょうか。

そのため、この記事では以下のことがちゃんと説明できるように、簡単にわかりやすく解説しました！

• オッズとリスクの定義
• オッズ比とリスク比の違い
• なぜ医療統計ではオッズがよく使われるのか

オッズ比とは？わかりやすく相対危険度（リスク比）との違いを意識しながら計算式の定義を確認しよう

まずは、オッズとリスクの定義を確認しましょう。

以下のような分割表があったとします。

分割表に関しての詳しい解説は、別記事で解説していますので、そちらをご参照ください。

＞＞分割表に詳しくなる。

オッズ比の前にまずは相対危険度（以下、リスク比）の計算式の定義を確認する

この時、「喫煙あり」の集団で「ガンを発症」するリスクの定義は以下の通りです。

また、「喫煙なし」の集団で「ガンを発症」するリスクの定義は以下の通りです。

リスクって直感的にわかりやすいですよね。

日本語で説明すると、「喫煙をしていた集団の中でガンを発症した割合」「喫煙をしていない集団の中でガンを発症した割合」ですから。

そして、いわゆるリスク比（Relative Risk: RR）はこれらの比を取ったものです。

次に、オッズ比の計算式の定義を確認する

では、オッズの定義を確認しましょう。

オッズの正式な定義はp/(1-p)です。

pは、「喫煙をしていた集団の中でガンを発症した割合」であり、1-pは「喫煙をしていた集団の中でガンを発症していない割合」です。

ということは、p=A/(A+B)であり、1-p=B/(A+B)です。つまり、オッズとは、ある事象が起こる確率と起こらない確率の比ということ。

そのため、喫煙ありのオッズは次の通りになります。

同様に、喫煙なしのオッズは次の通りとなります。

で、オッズ比（Odds Ratio: OR）はこれらの比です。

上記がオッズ比の定義です。

オッズ比とリスク比の違いは？簡単な練習問題で違いを理解

数式的には明らかに違うオッズ比とリスク比。

では、私たちはそれぞれの結果をどう解釈すればいいのでしょうか。

ここは重要なので、是非とも理解してください。

リスク比は〇〇倍という言い方ができる

例えば、先ほどの表に具体的な数字を入れてみましょう。

そして、一番右にリスクを足してみます。

このときのリスク比（Relative Risk: RR）は60%/20%=3となります。

RR=3となることから、以下の解釈ができます。

喫煙者がガンを発症するリスク（割合）は非喫煙者に比べて3倍である

リスク比が3=リスクが3倍になる、と解釈が可能です。

オッズ比は〇〇倍という言い方ができない

一方のオッズ。

また先ほどの表でオッズを出してみます。

この時のオッズ比（Odds Ratio: OR）は1.5/0.25=6となります。

OR=6であるとき、以下のような解釈はできません。

　喫煙者は非喫煙者に比べて6倍ガンを発症しやすい　

この解釈は絶対にNGなので、ぜひ理解しておいてください。

では、オッズ比から何が読み取れるのでしょうか。

オッズ比は、複数のオッズ比があった時に、その値が大きいとか、小さいといったことがわかるだけなのです。つまり、あくまで関連の強さを示す指標として使用します。

だからオッズ比は、リスク比に比べ理解しにくく、そのため使い方に注意がとても必要なのです。

なぜ医療統計ではオッズ比がよく使われているの？

直感的にはリスクのほうが解釈しやすく、オッズはなんだか解釈がしにくいことがわかりました。

なので、常にリスクを使っておけばいいのでは？

と、あなたは思ったことでしょう。

でも、医療統計の世界では、オッズがよく使われているのです。

その理由は３つあります。

1. ロジスティック回帰分析との相性が良い
2. どんな研究にも使える
3. pが小さければ、オッズ比はリスク比の近似になっている

どういうことか、それぞれ詳しくみていきましょう。

オッズ比が使われる理由：オッズはロジスティック回帰分析との相性が良い

あなたはロジスティック回帰分析という手法を聞いたことがありますか？

医療業界のデータを扱ったことがあるなら聞いたことがあると思います。

ロジスティック回帰分析とは、以下の数式で与えられる回帰分析です。

この部分、どこかでみませんでしたか？

そう。

この部分は、オッズですよね。

つまり、ロジスティック回帰分析で私たちが求めているのは、オッズってことです。

医療統計ではロジスティック回帰分析を多用するため、結果的にオッズが多用されるのです。

ちなみに、リスク比を計算したい場合に用いる回帰分析は、ポアソン回帰か負の二項回帰です。

オッズ比が使われる理由：オッズはコホート研究でもケースコントロール研究でもどんな研究にも使える

臨床研究で有名な研究方法が２つあります。

それが「コホート研究」と「ケースコントロール研究」です。

ざっと簡単に「コホート研究」と「ケースコントロール研究」の違いを見てみましょう。

コホート研究は以下の通り。

この時、調査開始時点ではガンは発生しておらず、それから2年後（未来）にガンの発生を調べます。

このような研究をコホート研究といいます。

この研究は2年後の未来へ向かって調べる研究であり、「前向き」の研究といいます。

ケースコントロール研究は以下の通り。

すでにガンがあると診断された人、ガンではない人がいて、その時点から過去にさかのぼって喫煙をしていたかどうかを調べます。

このような研究をケースコントロール研究といいます。

この研究は過去へ向かって調べる研究であり、「後ろ向き」の研究といいます。

この研究方法の違いが何につながるのかというと、使える解析手法が異なるからです。

以下の表の通り、前向きに研究するコホート研究ではリスクもオッズも使えますが。

しかし、ケースコントロール研究ではリスクが使えないのです。

なぜケースコントロール研究でリスクが使えないのか。

例を見てみましょう。

例えばケースコントロール研究をした結果、以下の表のデータがあったとします。（架空のデータです）

この時、リスク比は0.75/0.33=2.25となります。

一方で、オッズ比は3/0.5=6となります。

では、ガン発症の人数が少なくなってしまって、100人しか集まらなかったとしましょう。

この時、以下のような表になったとします。

ガン発症の人は100人中60人（割合：60%）のため、250人中150人（割合：60%）の時と割合は同じですね。

この時、リスク比は0.55/0.17=3.27となります。

一方で、オッズ比は1.2/0.2=6となります。

では、先ほどのガン発症の症例数が250人の場合と、今回のガン発症の症例数が100人の場合でのリスク比とオッズ比をまとめてみます。

この表から見ても明らかなように、後ろ向き研究では選んでくるサンプル数が異なるとリスク比も違った結果になってしまう、ということです。

ガン発症人数を250人集めた時のリスク比は2.25倍だったのに対し、ガン発症人数を100人集めた時のリスク比は3.27倍になります。

このように、ケースコントロール研究の場合には、リスク比は症例数に依存してしまうため適切な解析手法ではありません。

その一方で、どんな症例数であっても、オッズ比は6です。

つまり、後ろ向き研究でのオッズ比は症例数に全く依存しません。

これが、ケースコントロール研究でオッズが使われるべき理由です。

オッズ比が使われる理由：確率pが小さければ、オッズ比はリスク比の近似になっている

３つめの理由は、割合が小さい場合に、オッズ比とリスク比は同じような値になるということです。

例を見てみましょう。

以下のようなデータがあったとします。

喫煙ありの割合（p）は0.03（＝30/1000）で、喫煙なしの割合（p）は0.01（＝10/1000）と、かなり小さいですよね。

この時、リスク比は0.03/0.01=3であり、オッズ比も0.03/0.01=3です。

リスク比≒オッズ比であることがわかりますね。

臨床研究では、割合（p）が小さい研究をすることも多いです。

そのため、オッズ比の解釈がほぼリスク比の解釈として使うことが可能なので、有用です。

オッズ比とリスク比まとめ

• オッズとリスクは数式的に全く違う。
• リスク比は〇〇倍リスクが上昇する、という解釈ができるが、オッズ比はそのように解釈することができない。
• オッズ比は、以下の３つの理由があるため、臨床研究でよく使われる。
  1. ロジスティック回帰分析との相性が良い
  2. どんな研究にも使える
  3. 割合（p）が小さければ、オッズ比はリスク比の近似になっている

オッズ比とリスク比の違いに関して動画でも解説していますので、ぜひ併せてご覧くださいませ。

＞＞ロジスティック回帰分析とは？

カイ二乗検定には、イェーツの連続補正をかける方法と補正をかけない方法があります。

「イェーツの連続補正って何のこと？」
「補正は必要なの？」

といった疑問をお持ちの方も多いのではないでしょうか。

本記事では、イェーツの連続補正とは何か？どんな時に必要なのか？といった疑問にお答えします。

なるべく分かりやすく説明していきますので、初心者の方も安心してくださいね！

カイ二乗検定におけるイェーツの連続性補正とは？

カイ二乗検定におけるイェーツの連続補正をまずは理解していきましょう！

カイ二乗検定とは？

イェーツの連続補正の話をする前に、カイ二乗検定について説明しておきます。（すでに知っている方は飛ばしても構いません）

カイ二乗検定とは、ある群とある群の割合の差に違いがあるかどうかを検証する手法の一つです。

具体的には実測値のクロス集計表を作成した後、実測値と期待値(2群の差がない時に当てはまる理論値)とのズレがどれくらい大きいか算出します。

この実測値と期待値のズレをカイ二乗値と呼び、カイ二乗値が大きければ大きいほどp値が小さくなっていきます。

カイ二乗検定について詳しく知りたい方はこちらの記事をご覧ください。

フランク・イェーツが指摘したカイ二乗検定の問題点

非常に便利なカイ二乗検定ですが、統計家のフランク・イェーツがある問題点を指摘しました。

それは”カイ二乗検定は実際より甘い結果が出るんじゃないか？”という指摘です。

どういうことでしょうか？

カイ二乗検定は、クロス集計表から算出したカイ二乗値がカイ二乗分布に従っていることを前提として設計された検定法です。

しかしイェーツ氏によれば、カイ二乗値とカイ二乗分布に小さなズレがあり、そのズレの影響で本来より有意差が出やすい結果になってしまうのではないかというわけです。

有意差が出やすいということは、本来有意差がないのに有意差があるという間違った結果が出るリスク(第一種の過誤、αエラー)が高くなるということです。

このような間違いはあってはならないものですので、イェーツ氏の指摘が本当なら何らかの対策が必要ですよね。

そこで生み出されたのが、イェーツの連続補正です。

イェーツの連続補正とは？

イェーツの連続補正とは、カイ二乗検定の時に算出するカイ二乗値に補正をかけて有意差が出やすくならないように調整することです。

これによって本来有意差がないのに有意差があるという間違った結果になるリスクを下げられるというわけです。

ただしイェーツの補正をかけると必要以上に厳しくなってしまうこともあるので注意が必要です。

何でもかんでも補正をかければいいということではありません。(どんなときに補正をかけるべきかは後述します)

カイ二乗検定でイェーツの連続補正をした場合にはどんな違いがある？

ではカイ二乗検定で、イェーツの連続補正をした場合としていない場合ではどんな違いがあるのでしょうか？？

イェーツの連続補正の導出

イェーツの連続補正とは、カイ二乗値に補正をかけてp値が小さくなりすぎないように（有意になりやすくなることを防ぐように）調整する方法でした。

実際にどんな補正をかけているのか確かめてみましょう。

こちらは通常(連続補正なし)のカイ二乗値の算出方法です。

こちらはイェーツの連続補正をかけてカイ二乗値の算出方法です。

ご覧のように、イェーツの補正は0.5を引くことでカイ二乗値が少し小さくなるように補正しています。

結構単純ですよね。

カイ二乗値が小さくなるとp値が大きくなりますので、有意差が出にくくなるというわけですね。

イェーツの連続補正をかけた時とかけない時の結果の差

実際にイェーツ補正をかけた時とかけない時でどれくらい結果が変わるのかみていきましょう。

今回は例としてこのようなデータを使ってみます。

A区とB区で男女比に差があるかどうか調べたいとしましょう。

さっそくカイ二乗検定をかけてp値を算出してみましょう。

イェーツ補正をかけるとp値が高くなることが分かりますね。

差はわずかですが、有意水準をp<0.05とした場合、イェーツ補正の有無によって反対の結果になることが分かります。

このようにイェーツ補正をかけるか否かは事前にしっかり検討しておかなければなりません。

ではどんな時にイェーツ補正をかけた方がよいのでしょうか？

解説していきますね。

イェーツの連続補正はどんなときに必要？

では、イェーツの連続補正が必要な時とはどんなときでしょうか？

イェーツの連続補正が必要な場合1：厳しく検定を実施したいとき

有意差があるかどうか、厳しく判断したい時はイェーツの連続補正をかけるようにしましょう。

今までご説明したとおり、イェーツ補正をかけるとp値が少し大きくなるからです。

間違った有意差（αエラーを起こすこと）が絶対に出てはいけない場面ではイェーツ補正をかけましょう。

たとえば新しい薬の効果を検証するときなどですね。(効果のない薬を間違っても効果があると言ってはいけませんよね)

反対に有意差があるものを少しでも見逃したくない場面では補正をかける必要はないでしょう。

ビジネスの現場である施策が有効かどうかとりあえず検証したいときなどです。

このようにどのような目的でカイ二乗検定を使うかによって、補正をかけるべきかどうかは変わってきます。

ひとまずイェーツ補正をかけるとp値が高くなるということだけは踏まえておきましょう。

どちらにすべきか迷ったら、ひとまず補正をかけることをおすすめします。

厳しく検定をして悪いことはないからです。

イェーツの連続補正が必要な場合2：期待値のクロス集計表の中に5より小さい値が含まれるとき

下図のようにクロス集計表に偏りがみられることがあります。

このような偏りがある場合(期待値のクロス集計表に5以下の値が含まれる場合)はイェーツ補正をかけたほうが良いと言われています。

集計表に偏りがあると、カイ二乗値とカイ二乗分布のズレが大きくなるからです。

実測値ではなく期待値が5以下の時であることに注意してください。

実質このような場合にはカイ二乗検定をすること自体やめたほうがよく、フィッシャーの正確確率検定を使うほうがいいですね！

イェーツの連続補正が必要な場合3：データ数が非常に少ないとき

先ほどと同様の理由で、全体のデータ数が非常に少ない時もイェーツの連続補正をかけたほうが良いと言われています。

データ数が少ないと必然的に期待値が5以下になるからです。

期待値のクロス集計表に5以下のマスがなくなるくらいデータ数が多くなければ補正をかけるようにしましょう。

実質このような場合も同様に、カイ二乗検定をすること自体やめたほうがよく、フィッシャーの正確確率検定を使うほうがいいですね！

まとめ

最後におさらいをしましょう。

カイ二乗検定を知っている方は多いですが、イェーツ補正について知っている方は少ない印象があります。

若干の差ではありますが、補正の有無で結果に差が出るためカイ二乗検定をかける時はイェーツ補正についても考慮するようにしましょう！

最後までお読み頂きありがとうございました。

動画でも解説しておりますので、ぜひ記事とセットでご確認くださいませ^^

ROC曲線は、分類モデルの性能を評価するための方法の一つです。

医療統計の中では「検査の陽性/陰性」と「疾患の有無」といった、検査の性能を評価する際によく用いられる方法。

コロナウイルスが流行した際に、PCR検査でも話題になりました。

PCR検査を行なうと下の表のように偽陰性や偽陽性が出る、というのは耳にされた方が多いのではないでしょうか。

これから解説するROC曲線というものを使うと、検査の有効性を分析することができるのでしっかり覚えておきましょう。

本記事では、ROC曲線とは何か、そしてその読み解き方について、初心者でも理解できるようにわかりやすく解説します。

分類モデルの評価においてROC曲線がなぜ重要なのか、その基礎知識から応用例、さらにはROC曲線の限界と注意点についても触れていきます。

ROC曲線とはわかりやすくいうとどんな曲線？感度と特異度を考慮した曲線

まず用語の定義から始めます。

• 真陽性：実際に疾患がある人が陽性と判断されること
• 偽陽性：実際には疾患がない人が陽性と判断されること
• 偽陰性：実際に疾患がある人が陰性と判断されること
• 真陰性：実際には疾患がない人が陰性と判断されること

上の表の記号を使って真陽性率を算式であらわすと、真陽性率＝A/（A＋C）となり、これを感度と呼びます。

また、真陰性率＝D/（B＋D）となりこれを特異度と呼びます。

このとき、１－特異度＝B/（B＋D）となり、これを偽陽性率と呼びます。

つまり真陽性率（True Positive Rate：TPR）は、実際に疾患ありに属する人数のうち、正しく疾患ありと予測された人数の割合のことです。

偽陽性率(False Positive Rate：FPR) は、実際には疾患なしに属する人数のうち、誤って疾患ありと予測されたサンプルの割合のことです。

1から特異性を引いた値に等しく、検査が疾患なしをどれだけ誤って疾患ありと判断するかを示します。

上のグラフのように横軸（0から1まで）に１－特異度、縦軸（0から1まで）に感度をプロットし、カットオフ値（検査の基準値）を連続的に変化させた際に描かれる曲線（上のグラフでは青い色の線）のことをROC曲線と呼びます。

PCR検査でROC曲線を考える：具体的な書き方は？

カットオフ値を下げれば下げるほど感度 (＝陽性率) は高くなる、という性質があります。

PCR検査の例でいえば「唾液中のウイルス遺伝子量20フェムトグラム/デシリットル以上」がであれば検査陽性になりますが、、1フェムトグラムとは1グラムの1000兆分の1のことなのでほとんどないに等しいということを意味します。

ほとんどの人がこの基準を満たしますから、感度は限りなく1に近づきます。

その一方で、特異度は極めて小さく、0に近いはず。

すなわち、１－特異度は1に近い数値になります。したがって、このカットオフ値はROC曲線でいえば右上の部分にプロットされます。

ではここから、カットオフ値を徐々に上に上げていきましょう。

例えば以下のような図だと、疾患ありの8人の中で、陽性になる人は7人ですから、感度は7/8=87.5%になります。

一方で疾患なしの7人のうち、4人が検査陰性になるので、特異度は4/7=57%になります。

つまり、カットオフ値を上げれば上げるほど感度 (＝陽性率) は低くなるのですが、特異度は上がっていく。

そしてカットオフ値を1番上まで持っていくと、感度は0になり、特異度は100%になります。

これは「感度と特異度はトレードオフの関係がある」ということです。

このようにして、カットオフ値を変化させていけば、左下から徐々に右上に向かう、以下のような形状の曲線になるのです。

ROC曲線は、このように一辺の⻑さが１の正⽅形の中に定義される曲線です。

ROC曲線は、でたらめな検査であれば45度の直線になり、有効な検査であれば45度の線から左上に離れた曲線になります。

ROC曲線が45度の線から左上に離れれば離れるほど検査は有効性が高いということになるのです。

ROC曲線から計算するAUCの意味は？

次にAUC（Area Under the Curve）という概念について説明します。

AUCとは、ROC曲線の下側の⾯積のこと。

ROC曲線とは偽陽性率と真陽性率が基準値に対してどのように変化するかを示す曲線なので、ROC曲線を用いて算出されるAUCはある検査がどれくらい有用性があるのかの指標となるのです。

なぜROC曲線を用いて算出されるAUCが検査の有用性の指標となるのか？

AUCはROC 曲線の下の面積ですので、ROC 曲線の性質から、でたらめな検査のときにAUCが0.50になり、完璧な検査のときにAUCは1になることが理解できるかと。

このように、疾患ありと疾患なしを識別できる程度が ROC 曲線下の面積に反映されるため、AUCにより検査の総合的な評価を行うことが可能となります。

AUCは、検査の総合的な性能を１つのスコアにカットオフ値によらない形で実現した指標と言えるでしょう。

ROC曲線からカットオフ値の決め方は？

では、ROC曲線からカットオフ値を決めるにはどうしたらいいか。

ROC曲線からカットオフ値を決める方法はいくつかありますが、ここでは①グラフの左上、座標でいうと（0,1）からの距離を最小にする方法と、②Youden’s indexというものを用いた方法の２とおりの方法をご紹介します。

ROC曲線からカットオフ値の決め方1：左上の隅の点からの距離が最小となる方法

この方法は、後述するYouden’s indexと違ってスマートな名前がありません。

とりあえず、「左上の隅の点からの距離が最小となる方法」としておきます。

感度と１－特異度という２つの変数からなるROC曲線は、これまで説明したとおり、45度の線から左上に離れれば離れるほど検査としての有効性が上がることが理解できるのでは。

したがって、左上の隅（0,1）との距離が最小となる点をカットオフ値にするという方法が、まず一つの方法としてあり得るのです。

これはスマートな名前がなくて覚えにくいですが、内容は結構シンプルですよね。

ROC曲線からカットオフ値の決め方2：②Youden’s index

次にYouden’s indexというものについて説明します。

これは感度も特異度も高いほうがいいと考えて、（感度+特異度）が最大になる点を最適点と定義する方法です。

具体的には、最も検査の有効性が低いROC曲線、すなわちAUC = 0.5となる45度の線から最も離れたポイントをカットオフ値にすればいいということ。

45度の線から縦軸方向の距離を計算すると（感度+特異度－1)となりますが、これが最大値となるポイントをカットオフ値にしてしまえばいい。

これは、①の方法の逆の考え方になっています。この(感度+特異度－1)が最大値となる点をYouden indexと言います。

これはちゃんと名前が付いていて覚えやすい。

まとめ

ROC曲線は、検査や診断薬の性能最適な境界値を推定する方法のひとつです。

ROC曲線は感度と特異度しか考慮しませんが、複数の検査項目のROC曲線をひとつのグラフ上に描くことができるため、複数の検査項目について診断指標としての性能を比較することができます。

ROC曲線は、検査や診断薬の性能最適な境界値を推定する方法のひとつですが、実は万能な方法ではありません。

そんな神のような完璧な方法があるわけないですよね。

ですが、直観的に理解しやすく扱いやすい手法と言えます。

どんな方法にも短所と長所がありますので、それぞれの研究目的に合った方法を選択する必要があるのです。

ROC曲線を用いた分析手法を皮切りにさまざまな分析手法を勉強していきましょう。

＞＞JMPでROC曲線を作成する方法！

＞＞EZRでROC曲線とAUCを算出する方法

この記事では、統計学での自由度に関して例題を使って求め方をわかりやすく解説します。

統計学において、何となくわかるようでわかりにくい自由度。

• 自由度とはどうやって求めればいいのか。。
• そもそも、自由度の意味って？
• カイ二乗検定での自由度は？
• T検定での自由度は？

そう思っているのは、あなただけではありません。

ちなみに私は、この自由度の概念がわかるまで3年ぐらいかかりました。。。

というのも、本を読んでも自由度を全然イメージができなかったのです。。

この記事では、カイ二乗検定とT検定の自由度のでの求め方とその意味を、例題を使って解説します。

自由度とは？求め方や意味をわかりやすく

まずは自由度の定義を理解しておきましょう。

この定義でイメージ出来て、自由度を完璧に理解出来たら、もう先を読まなくてもいいです！笑

でも、この定義をみても自由度をイメージ難しくないですか？

私には、さっぱり何のことやらって感じでした。。

そのため、カイ二乗検定とT検定を例にして自由度を解説していきますね。

自由度をカイ二乗検定の例で理解する

言葉や定義で分からないときは、例を考えるのが一番早いです。

ということで、カイ二乗検定の例。

突然ですが問題です。

あなたはわかりますか？？

おそらく定義がわからなければ考えてもわからないかと思います。。

では正解。

定義としては、(2-1)×(2-1)=1ですね。

2×2分割表なので上記の式ですが、例えば3×2分割表の場合だと、自由度は(3-1)×(2-1)=2になります。

そのため、一般化すると、m×n分割表の自由度は(m-1)×(n-1)となります。

一応、定義がわかったところで、なぜそのような式になるのかを考えていきます。

カイ二乗検定での自由度の求め方を例題で理解する

カイ二乗検定のページで出てきたこの表。

この表で自由度を考えてみます。

自由度とは、「ある代表値や合計値があるときに、自由に値を取れる数」でした。

つまり合計値だけがある場合を考えてみます。

こんな感じ。

4つのセルの数字がない分割表ですね。

この時、4つのセルのうち、どこでもいいので自由に1つ数値を入れてみます。

例として、薬剤群の治った人のセルに15を入れてみます。

すると、こうなりますね。

すると、残りのセルは3つ。

では次に、他の3つのセルのうち、どこでもいいので自由に1つ数値を入れてみます。

・・・これ以上自由に数字を入れることってできますか？

だって、薬剤群の治った人は15人です。

薬剤群は全部で20人です。

ということは、薬剤群で治らなかった人は、自動的に5人になりませんか？

他のセルも同様です。

治った人の合計は18人と決まっているので、コントロール群で治った人は、自動的に3人になります。

2×2分割表では、4つのセルのうち1つのセルの値が決まれば、残りの3つが自動的に決まってしまいます。

つまり、自由に値を決められるのは1つだけということです。

これが自由度の概念です。

自由度をT検定の例で理解する

T検定の自由度は「データの数-群の数」です。

これは結構有名ですね。

T検定の自由度は、T分布表と見比べる時に重要になるので、是非とも覚えておきたい概念です。

では、なぜこのような自由度の定義「データの数-群の数」なのか。

考えてみましょう。

もう一度、自由度の定義を再掲しておきますね。

T検定は平均値を比較する検定手法です。

ということは、自由度を考える際の代表値は、平均値です。

平均値を出すとき、自由にとれるデータの数は？

T検定での自由度の求め方を例題で理解する

例えば、以下の10個のデータがあったとき。

平均値は4.7です。

では、4.7という平均値が固定されていた場合、何個のデータを自由に決めることができるでしょうか？

自由に決めることができるのは、9個ですよね。

9個のデータが決まったら、残り一つは自動的に決まりませんか？

「j」にある「4」の数字がなかったとしても、平均値が4.7とわかっていたら、jは自動的に4しか入ることができません。

一般化すると、n個のデータがあった時、平均値が与えられた元で自由にデータを決めることができる数はn-1個です。

これが、T検定の自由度が「データの数-群の数」である理由。

2群のT検定の場合、もちろん平均値は2つあることになりますね。

各群１つずつ平均値があって、それを比較するので。

なので、全データから2を引いたものが自由度になります。

自由度とは？まとめ

• 自由度とは、ある代表値や合計値があるときに、自由に値を取れる数。
• m×n分割表の自由度は(m-1)×(n-1)となる。
• T検定の自由度は、データの数-群の数となる。

自由度に関しては、こちらの動画でも解説しておりますので、併せてご確認くださいませ^^

この記事では「陽性尤度比と陰性尤度比とは？感度特異度との関係と使い方まで例を交えて解説」ということでお伝えします。

• 陽性尤度比と陰性尤度比の基となる「尤度」とはそもそも何？
• 陽性尤度比と陰性尤度比は何を意味する？
• 陽性尤度比と陰性尤度比の使い方

が理解できるようになります。

陽性尤度比と陰性尤度比は診断研究でとても重要な指標なので、ぜひご覧くださいませ！

陽性尤度比と陰性尤度比の基となる「尤度」とは？

陽性尤度比と陰性尤度比そのものを解説する前に、そもそも「尤度って何？」ということを整理していきます。

尤度というものは教科書的には

という説明になっています。

・・・私としてはその説明だけだとちょっと良くわからない、、という感じだったので、サイコロの例で尤度を考えてみます。

サイコロの例で尤度を考える

サイコロで1の目が出る確率を考えます。

通常、サイコロで1の目が出る確率は1/6なので、100回サイコロを投げたら16回ぐらいは1の目が出るだろう、ということを考えることができます。

上記の図で言うと、左から右への矢印（→）のことを考えることが通常の確率の考え方、ということになります。

じゃあ尤度はというと、「「ある結果（や観測データ）」が得られた時にその結果を生み出す元となるパラメータはどれぐらいだろうか？ということの尤もらしさ」と言うことだったので、右から左への矢印（←）を考えることが尤度、ということです。

つまり、

• 100回サイコロを投げたら1の目が16回出た
• この結果から、このサイコロの1の目がでる確率（パラメータ）がどれぐらいだろうか？
• きっと、1/6と考えるのが尤もらしいだろう

と考えていくのが、尤度なのです。

なぜそのような尤度を考える必要があるかといえば、世の中の興味ある確率というものは知られていないことが多いからです。

サイコロで1の目が出る確率は1/6であり、コインで表が出る確率は1/2であるというのは周知の事実ですが、このようにわかっていること自体が少ないんです。

例えば

• 私が3年後にがんになる確率
• 咳と鼻水があった時にインフルエンザである確率

というのは、医学的にとても興味あることではありますが、知られているものではないです。

そのため、研究として観測データを取得し、取得したデータをもとに「じゃあその確率はどのぐらいと考えるのが尤もらしいのか？」を考えることが重要になります。

感度と特異度は尤度である

尤度がわかったところで、話を「検査の陽性陰性」と「本当に疾患があるかどうか」という検査に関して考えてみようと思います。

以下の記事にある2×2分割表を考えます。

＞＞感度と特異度の計算方法をわかりやすく！分割表からの求め方を解説！

この時、感度と特異度の定義はこちらです。

感度の定義：A/(A+C)

特異度の定義：D/(B+D)

つまり、感度と特異度は日本語でいうと、以下の通りに言い換えることができます。

この時にさらに感度を解釈していくと、感度とは「疾患がある人がこのぐらいいる」という結果が得られた条件のもとで検査陽性の人の割合（パラメータ）はどのぐらいか？を考えているということになります。

つまり感度は、「ある結果（や観測データ）」が得られた時にその結果を生み出す元となるパラメータはどれぐらいだろうか？ということの尤もらしさ、という尤度の定義に当てはまっているのです。

特異度に関しても同じで、「疾患のない人がこのぐらいいる」という結果が得られた条件のもとで検査陰性の人の割合（パラメータ）はどのぐらいか？を考えているから、尤度になります。

陽性尤度比と陰性尤度比は何を意味する？

「尤度とは何か？」「感度と特異度は尤度である」ということが整理できたところで、陽性尤度比と陰性尤度比の説明ができます。

「尤度比」はそのまま「尤度」の「比」です。

つまり、感度と特異度の比、ということ。

では陽性尤度比と陰性尤度比はどのような定義になるかといえば、下記のような数式で表されます。

陽性尤度比を日本語で言い換えると、「検査陽性となる尤度比」です。

感度は真に病気の人が検査陽性（真陽性）である尤度、1-特異度は病気でない人が検査陽性（偽陽性）である尤度、と言い換えることができるため、陽性尤度比は「病気でない人に比べて、病気の人は何倍検査陽性になりやすいか？」を示しています。

同様に陰性尤度比を日本語で言い換えると、「検査陰性となる尤度比」です。

1-感度は真に病気の人が検査陰性（偽陰性）である尤度、特異度は病気でない人が検査陰性（真陰性）である尤度と言い換えることができるため、陰性尤度比は「病気でない人に比べて、病気の人は何倍検査陰性になりやすいか？」を示しています。

陽性尤度比と陰性尤度比の使い方の例

陽性尤度比と陰性尤度比がわかったところで、実際にどう使うか？を解説します。

陽性尤度比と陰性尤度比を使うために重要な知識は、ベイズの定理です。

ベイズの定理そのものを詳しく理解するというより、下記の数式だけ覚えていただければOK。

これだけです。

この数式が何をいっているのかというと、

• ある事前の情報（事前オッズ）があった時に
• 検査をして尤度比を求める
• 事前オッズと尤度比をもとに、その情報のアップデートをする（事後オッズを計算する）

ということです。

ちょっと分かりにくいので、例を元にして考えてみます。

例で陽性尤度比と陰性尤度比の使い方を理解する

例えば、「冬に咳と鼻水を訴えてきた患者さん」がいたとします。

この時、以下のような流れを考えると、それぞれが「事前オッズ」「尤度比」「事後オッズ」に対応することになります。

1. 「冬に咳と鼻水を訴えた場合」にインフルエンザである確率は50%ぐらいである、という感覚をお医者さんが持っていたとします。（事前オッズ）
2. じゃあ本当にインフルエンザなのか？を診断するために、インフルエンザの検査をします。（この検査の尤度比は事前に知っている）
3. インフルエンザ検査の結果、陽性だったので、この患者さんがインフルエンザである確率は97%だな、と判断する。（上記2つの情報から事後オッズの計算）

上記の例での実際に計算してみましょう。

1. 事前情報でインフルエンザである確率は50%なので、オッズに直すと0.5/0.5=1。つまり、事前オッズは1
2. インフルエンザ検査キット感度：60%、特異度98%である。そのため、陽性尤度比は0.6/(1-0.98)=30である。
3. 事後オッズ（検査後のオッズ）を計算すると、1*30=30。オッズを確率に直すと30/(1+30)=96.8%のため、この患者がインフルエンザである確率は97%ぐらいだと診断する。

最後のオッズから確率計算は、オッズの定義：p/(1-p)を元に計算します。

と計算できます。

なお、インフルエンザ検査キット感度：60%、特異度98%という情報はこちらの記事から参考に引用させていただきました。

（引用：https://www.igaku-shoin.co.jp/paper/archive/y2019/PA03350_04）

まとめ

いかがでしたか？

この記事では「陽性尤度比と陰性尤度比とは？感度特異度との関係と使い方まで例を交えて解説」ということでお伝えしました。

• 陽性尤度比と陰性尤度比の基となる「尤度」とはそもそも何？
• 陽性尤度比と陰性尤度比は何を意味する？
• 陽性尤度比と陰性尤度比の使い方

が理解できるようになったのなら幸いです。